不等式的應用3題

1)
證一 :
凸 2013 邊形的外角和是 360° , 故為鈍角的外角 < 360/90 = 4 個 ,
也就是說凸 2013 邊形內角之中最多有 3 個銳角。
證二 :
設凸 2013 邊形內角共有 n 個為銳角 , 則內角為直角或鈍角的共 2013 - n 個 , 有
n * 90° + (2013 - n)180° > (2013 - 2)180° = 內角和
n * 90° > (n - 2)180°
n > 2(n - 2)
n < 4
故 n 最多為 3 , 凸 2013 邊形最多有 3 個內角為銳角。
註 :
一般地, 任何凸多邊形最多有 3 個內角為銳角。
但此結論不適用於凹多邊形, 如凹十邊形「☆」就有 5 個內角為銳角。

2)
設寫出的一組連續正整數是 2013 , 2014 , ... n , 刪掉了 d ,
則 2013 ≤ d ≤ n 。有
(2013 + 2014 + ... + n - d) / (n - 2012 - 1)
≥ [2013 + 2014 + ... + (n - 1) + n - n] / (n - 2012 - 1)
[(n + 2013)(n - 2012)/2 - d] / (n - 2013)
= 2557 + 19/33 ≥ [(n + 2012)(n - 2013)/2] / (n - 2013)
2557 + 19/33 ≥ (n + 2012)/2
n ≤ 3103 + 5/33
n ≤ 3103
及
(2013 + 2014 + ... + n - d) / (n - 2012 - 1)
≤ [2013 + 2014 + 2015 + ... + n - 2013] / (n - 2012 - 1)
[(n + 2013)(n - 2012)/2 - d] / (n - 2013)
= 2557 + 19/33 ≤ [(n + 2014)(n - 2013)/2] / (n - 2013)

2557 + 19/33 ≤ (n + 2014)/2
n ≥ 3101 + 5/33
n ≥ 3102

∴ 3102 ≤ n ≤ 3103

注意 33 | n - 2013 , 故 n = 3102。依題意得
(2013 + 2014 + ... + 3102 - d) / (3102 - 2012 - 1) = 2557 + 19/33
[(2013 + 3102)(3102 - 2012)/2 - d] = 1089 (2557 + 19/33)
5115 * 1090/2 - d = 2785200
d = 2475 為刪掉之數。

3)
設寫出的一組連續正整數是 2013 , 2014 , ... n , 刪掉了 a 和 b ,
且 2013 ≤ a < b ≤ n 。有
[2013 + 2014 + ... + n - (a + b)] / (n - 2012 - 2)
≥ [2013 + 2014 + ... + (n - 2)] / (n - 2012 - 2)
2556 + 371/544 ≥ [(n + 2011)(n - 2014)/2] / (n - 2012 - 2)
2556 + 371/544 ≥ (n + 2011)/2

n ≤ 3102 + 99/272
n ≤ 3102
及
[2013 + 2014 + ... + n - (a + b)] / (n - 2012 - 2)
≤ [2015 + 2016 + ... + n] / (n - 2012 - 2)
2556 + 371/544 ≤ (n + 2015)(n - 2014)/2 / (n - 2014)
2556 + 371/544 ≤ (n + 2015)/2
n ≥ 3098 + 99/272
n ≥ 3099 ∴ 3099 ≤ n ≤ 3102

注意 544 | n - 2014 , 故 n = 3102。依題意得
[2013 + 2014 + ... + 3102 - (a + b)] / (3102 - 2012 - 2) = 2556 + 371/544
(2013 + 3102)(3102 - 2012)/2 - (a + b) = 2781670
a + b = 6005 為刪掉之兩數之和。
驗算 :
設刪掉了 3002 和 3003 , 剩下的數之平均值為
(2013 + 2014 + ... + 3102 - 3002 - 3003) / (3102 - 2012 - 2)
= [(2013 + 3102)(3102 - 2012)/2 - 6005] / 1088
= (5115 * 1090 / 2 - 6005) / 1088
= 2556 + 371/544