平面與直線

E1： 2x+2y+z=5
E2： x－2y+cz=3
E3： ax+by+4z=10
且E1⊥E2，E2 // E3
求 a，b，c值
求兩平行面E2，E3的距離
Sol
E1⊥E2
2*2+2*(－2)+1*c=0
c=2
E2：x－2y+2z=3
E2//E3
a/1=b/－2=4/2
a=2，b=－4
E3：2x－4y+4z=10
T(1，0，1)為E2上一點
設 T(1，0，1)在E3上垂足W(p，q，r)
(p－1)/1=(q－0)/－2=(r－1)/2=m
p=m+1，q=－2m，r=2m+1
2(m+1)－4(－2m)+4(2m+1)=10
18m+6=10
m=2/9
W(11/9，－4/9，13/9)
TW^2=(2/9)^2+(4/9)^2+(4/9)^2=(4+16+16)/81=4/9
TW=2/3

二平面平行：
1/a = -2/b = c/4 ≠ 3/10
(xyz的係數比相等但不等於常數項比)
二平面垂直：
法向量之乘積等於0
(2,2,1)·(1,-2,c)=0
→2-4+c=0

以上這兩項關係 解得abc後
再用平面間距離及可得到答案為
2/3

噗~~我搞笑了，一開始內積就有個數字寫錯，
導致c的值變成1，自行刪除0.0

E1: 2x+2y+z=5, E2: x-2y+cz=3, E3: ax+by+4z=10
且E1⊥E2，E2//E3, 求 a.b.c值, 求兩平行面E2，E3的距離法線: N1=(2,2,1), N2=(1,-2,c), N3=(a,b,4)N1⊥N2: 0=N1.N2=2-4+c=-2+c => c=2......ansN2//N3: 1/a=-2/b=2/4=1/2 =>a=2, b=-4.......ans兩平行面距離的公式: Δd=|d1-d2|/√(a^2+b^2+c^2)=(10-3)/√(4+16+4)=7/2√6........ans