幫我出數學題目 急~急~

對於不定方程組：
a+b+c=40
a^2+b^2+c^2=1014
試求出所有的正整數解(a,b,c)。

以上答案只有(a,b,c)=(2,7,31)一組解。

這題要解出答案可多種面向下手。

我提供一個思考方式：
Sol:
可由(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)得到：
ab+bc+ca=293
由於a,b,c有輪換性，不妨設a≦b≦c，則有
3a^2=a^2+a^2+a^2≦ab+bc+ca=293
因此有a^2≦97,a≦9

接著就是討論了：
當a=1時，有b+c=39,b^2+c^2=1013，得方程式無解
當a=2時，有b+c=38,b^2+c^2=1010，解方程式得到(b,c)=(7,31)
繼續試算可知在3≦a≦9時，(b,c)亦無解。
故只有一組解(2,7,31)


對於上述不定方程，還可簡化為更簡單的題組：

a+b+c=40
a^2+b^2+c^2=1014
試求出所有質數解(a,b,c)

Sol:
由題目也可輕易得出ab+bc+ca=293。
由a^2+b^2+c^2=1014可判斷出a、b、c必為兩奇一偶或三偶...(1)
由ab+bc+ca=293可判斷出a、b、c必為三奇或兩奇一偶...(2)
由(1)、(2)可得a、b、c為兩奇一偶
又a、b、c為質數，不妨設a=2(因為2為唯一的偶質數)
因此有b+c=38,b^2+c^2=1010，解聯立得(b,c)=(7,31)
故僅有唯一質數解(2,7,31)

2013-02-01 09:56:57 補充：
抱歉，出現亂碼，說明如下：
由於a,b,c有輪換性，不妨設a≦b≦c
之中的&IE為(小於等於的符號)，後面的也是如此

2013-02-01 10:00:30 補充：
重寫如下：

Sol:
可由(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)得到：
ab+bc+ca=293
由於a,b,c有輪換性，不妨設a<=b<=c，則有
3a^2=a^2+a^2+a^2<=ab+bc+ca=293
因此有a^2<=97,a<=9

接著就是討論了：
當a=1時，有b+c=39,b^2+c^2=1013，得方程式無解
當a=2時，有b+c=38,b^2+c^2=1010，解方程式得到(b,c)=(7,31)
繼續試算可知在3<=a<=9時，(b,c)亦無解。
故只有一組解(2,7,31)

2013-02-01 10:03:05 補充：
這題若不考慮順序僅有一組解，如果考慮順序就有(2,3,7),(2,7,3),(3,2,7),(3,7,2),(7,2,3),(7,3,2)共6組解。

2013-02-01 10:16:33 補充：
抱歉，沒仔細算清楚：
第一組題解當a=7時，有b+c=33,b^2+c^2=965，此組解可得到(b,c)=(2,31)
若不考慮順序，這組解基本上與a=2時所得到結果相同。

以後你看到有關這有選質數的題目

首先先猜2看看

通常可以先解1個出來

2/1請到http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1013012505745
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2013-01-31 11:53:28 補充：
解方成
x3-40x2+293x-434=0
解法如下:
因式分解:
(x-2)(x-7)(x-31)=0
x-2=0 -> x=2
x-7=0 -> x=7
x-31=0 -> x=31

2013-01-31 13:41:47 補充：
更正

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