✔ 最佳答案
對於不定方程組:
a+b+c=40
a^2+b^2+c^2=1014
試求出所有的正整數解(a,b,c)。
以上答案只有(a,b,c)=(2,7,31)一組解。
這題要解出答案可多種面向下手。
我提供一個思考方式:
Sol:
可由(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)得到:
ab+bc+ca=293
由於a,b,c有輪換性,不妨設a≦b≦c,則有
3a^2=a^2+a^2+a^2≦ab+bc+ca=293
因此有a^2≦97,a≦9
接著就是討論了:
當a=1時,有b+c=39,b^2+c^2=1013,得方程式無解
當a=2時,有b+c=38,b^2+c^2=1010,解方程式得到(b,c)=(7,31)
繼續試算可知在3≦a≦9時,(b,c)亦無解。
故只有一組解(2,7,31)
對於上述不定方程,還可簡化為更簡單的題組:
a+b+c=40
a^2+b^2+c^2=1014
試求出所有質數解(a,b,c)
Sol:
由題目也可輕易得出ab+bc+ca=293。
由a^2+b^2+c^2=1014可判斷出a、b、c必為兩奇一偶或三偶...(1)
由ab+bc+ca=293可判斷出a、b、c必為三奇或兩奇一偶...(2)
由(1)、(2)可得a、b、c為兩奇一偶
又a、b、c為質數,不妨設a=2(因為2為唯一的偶質數)
因此有b+c=38,b^2+c^2=1010,解聯立得(b,c)=(7,31)
故僅有唯一質數解(2,7,31)
2013-02-01 09:56:57 補充:
抱歉,出現亂碼,說明如下:
由於a,b,c有輪換性,不妨設a≦b≦c
之中的&IE為(小於等於的符號),後面的也是如此
2013-02-01 10:00:30 補充:
重寫如下:
Sol:
可由(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)得到:
ab+bc+ca=293
由於a,b,c有輪換性,不妨設a<=b<=c,則有
3a^2=a^2+a^2+a^2<=ab+bc+ca=293
因此有a^2<=97,a<=9
接著就是討論了:
當a=1時,有b+c=39,b^2+c^2=1013,得方程式無解
當a=2時,有b+c=38,b^2+c^2=1010,解方程式得到(b,c)=(7,31)
繼續試算可知在3<=a<=9時,(b,c)亦無解。
故只有一組解(2,7,31)
2013-02-01 10:03:05 補充:
這題若不考慮順序僅有一組解,如果考慮順序就有(2,3,7),(2,7,3),(3,2,7),(3,7,2),(7,2,3),(7,3,2)共6組解。
2013-02-01 10:16:33 補充:
抱歉,沒仔細算清楚:
第一組題解當a=7時,有b+c=33,b^2+c^2=965,此組解可得到(b,c)=(2,31)
若不考慮順序,這組解基本上與a=2時所得到結果相同。