AIMO八年級

第一題:
首先要先把所有數字先做拆解，
如果你夠細心，可以看出下列的規律，
我們把每一項都看成下面這種情形:
1/[k*(k+4)*(k+8)]
我們把它與下面這個式子比較:
1/[k*(k+4)]-1/[(k+4)(k+8)]=[(k+8)-k]/[k*(k+4)*(k+8)]=8/[k*(k+4)*(k+8)]

所以我們可以知道，1/[k*(k+4)*(k+8)]=(1/8){1/[k*(k+4)]-1/[(k+4)(k+8)]} 。

因此本題的題目，可以改寫如下
[1/(1*5*9)[+[1/(5*9*13)]+.........+[1/(101*105*109)]
=(1/8)[1/(1*5)-1/(5*9)]+(1/8)[1/(5*9)-1/(9*13)]+.......+(1/8)[1/(101*105)-1/(105*109)]，中間項相同的都是一加一減，所以全部消去，只剩下頭尾
=(1/8)[1/(1*5)-1/(105*109)]
=(1/8)[(1/5)-(1/11445)]
=(1/8)[(2289-1)/11445]
=(1/8)(2288/11445)
=286/11445 。

第二題:
因為你沒加括弧，不確定你要表達哪一種意思，
我就寫兩種版本，看你要表達的是哪一個:

【版本一】
x+2013=2012/(1-x)
(x+2013)(1-x)=2012
-x²-2012x+2013=2012
x²+2012x-1=0
這個答案會很醜，只能夠公式解，
x=(-2012±√4048184)/2=-1006±√1012046=-1006±7√20645 。

【版本二】
x+2013=1-(2012/x)
x+2012=-2012/x
x+2012+2012/x=0
x²+2012x+2012=0
x=(-2012±√4044096)/2=-1006±4√63189=-1006±12√7021 。
7021=7*17*59，所以無法再化簡了~~~

兩組答案好像都蠻醜了XD~~~

Please use ( ) .