設直線上七間學校依序為A、B、C、D、E、F、G，
且A、B距離為d1，B、C距離為d2，C、D距離為d3，D、E距離為d4，E、F距離為d5，F、G距離為d6
1、為使距離最小，設d1=1。
2、由條件知d2≠d1。為使距離最小，設d2=2。
3、由條件知d3≠d1≠d2≠d1+d2，即d3≠1≠2≠3。為使距離最小，設d3=4。
4、由條件知d4≠d1≠d2≠d3≠d1+d2≠d1+d2+d3≠d2+d3，即d4≠1≠2≠4≠3≠7≠6。為使距離最小，設d4=5。
5、由條件知d5≠d1≠d2≠d3≠d4≠d1+d2≠d1+d2+d3≠d1+d2+d3+d4≠d2+d3≠d2+d3+d4≠d3+d4，即d5≠1≠2≠4≠5≠3≠7≠12≠6≠11≠9。為使距離最小，設d5=8。
6、由條件知d6≠d1≠d2≠d3≠d4≠d5≠d1+d2≠d1+d2+d3≠d1+d2+d3+d4≠d1+d2+d3+d4+d5≠d2+d3≠d2+d3+d4≠d2+d3+d4+d5≠d3+d4≠d3+d4+d5≠d4+d5，即d6≠1≠2≠4≠5≠8≠2≠7≠12≠20≠6≠11≠19≠9≠17≠13。為使距離最小，設d6=10。
故最短距離為1+2+4+5+8+10=30。
2013-01-20 19:01:57 補充：
抱歉，考慮不周。
我想到另一種想法：
要使距離最小，必需能讓d1、d2、d3、d4、d5、d6儘可能的小。
先將3、4、5、6分解成相異數字的和，則有：
3=1+2…(1)
4=1+3…(2)
5=1+4=2+3…(3)
6=1+5=2+4=1+2+3…(4)
一、設若d1,d2,d3,d4,d5,d6為1,2,3,4,5,6六個數字的組合，
由(1)知1與2必不相鄰；(否則3不存在)
由(2)知1與3必不相鄰；(否則4不存在)
由(3)知1與4、2與3必不相鄰；(否則5不存在)
由(4)知1與5、2與4必不相鄰；(否則6不存在)
2013-01-20 19:02:35 補充：
由上述4條件只能排出序數(d1,d2,d3,d4,d5,d6)=(1,6,2,5,3,4)、(1,6,2,5,4,3)
但上述兩組解都有1+6=2+5與題意不合
故d1,d2,d3,d4,d5,d6不可能由1,2,3,4,5,6六個數字組成
2013-01-20 19:02:44 補充：
二、設若d1,d2,d3,d4,d5,d6中有五個數由1,2,3,4,5組成，
(Ⅰ)設若d1=1，則有序數(d1,d2,d3,d4,d5,d6)=(1,_,_,_,_,_)
由(1)知2必不與1相鄰，因此有(d1,d2,d3,d4,d5,d6)=(1,_,2,_,_,_)、(1,_,_,2,_,_)、(1,_,_,_,2,_)、(1,_,_,_,_,2)四種可能。
2013-01-20 19:03:03 補充：
(Ⅰ.1)若(d1,d2,d3,d4,d5,d6)=(1,_,2,_,_,_)，
由(2)知3必不與1相鄰，因此有(d1,d2,d3,d4,d5,d6)=(1,_,2,_,3,_)、(1,_,2,_,_,3)
兩種可能。
2013-01-20 19:03:30 補充：
(Ⅰ.1.1)若(d1,d2,d3,d4,d5,d6)=(1,_,2,_,3,_)，
由(3)可得(d1,d2,d3,d4,d5,d6)=(1,_,2,4,3,_)、(1,_,2,_,3,4)
(Ⅰ.1.1.1)若(d1,d2,d3,d4,d5,d6)=(1,_,2,4,3,_)，
則有(1,5,2,4,3,_)、(1,_,2,4,3,5)，再由條件驗算可得(1,5,2,4,3,10)、
(1,9,2,4,3,5)兩組解。和分別為25與24
2013-01-20 19:03:41 補充：
(Ⅰ.1.1.2) 若(d1,d2,d3,d4,d5,d6)＝(1,_,2,_,3,4)
則有(1,5,2,_,3,4)、(1,_,2,5,3,4)，再由條件驗算可得(1,5,2,9,3,4)、(1,9,2,5,3,4)
兩組解。和分別為24
2013-01-20 19:04:01 補充：
在此提供思考方式給你，剩下的(Ⅰ.2)、(Ⅰ.3)、(Ⅰ.4)就留待大大自行計算囉。
不過看起來最小距離應為24
2013-01-20 19:47:34 補充：
還有(Ⅱ)即(_,1_,_,_,_)與(Ⅲ)即(_,_,1_,_,_)需討論。
另外因為6個數字彼此對稱，因此d4=1,d5=1,d6=1的情形不需討論。
(如d4=1與d3=1的情形是彼此對稱而相同的)…
2013-01-23 22:33:50 補充：
哈哈，我自己也算到頭昏
2013-01-23 22:34:34 補充：
哈哈，我自己也算到頭昏了，(1,5,2,9,3,4)、(1,9,2,5,3,4)有5+2=3+4，所以不合。Sorry~~
2013-01-23 22:39:11 補充：
謝謝khsdloflof大大提供的答案~~
