有理數與無理數

(1) 根據多項式理論﹐對任一n次多項式a_n x^n + a_n-1 x^(n-1) + ... + a_0

設根為有理數p/q﹐則p | a_0, q| a_n

因此有理根只可能為1及-1

但f(1) = 1 + 1 + 1 = 3 及 f(-1) = 1 + 1 + 1 = 3 都不是根

因此根一定是無理數

(2) 設√(n^2 - 1) = p/q

n^2 - 1 = (p/q)^2

q^2(n - 1)(n + 1) = p^2

這時對它們進行因式分解﹐右手邊每個因子的次數都是偶數﹐而左手邊則不是(因為它們是不同的數﹐而兩個平方數的差一定大於2﹐所以也不可能兩個數都是平方數)。因此√(n^2 - 1) 是無理數




2013-01-13 12:07:55 補充：
同意。題目出得不好。

x^4+x^2+1=0
x^4+2x^2+1- x^2=0
(x^2+1)^2-x^2=0
(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0
x^2+x+1=0==>判別式D<0==>兩根為虛根
x^2 - x+1=0==>判別式D<0==>兩根為虛根
四根皆為虛根===>不是無理數

2013-01-13 00:32:44 補充：
更快的方法
x^4 >=0 , x^2>=0 ==>x^4+x^2+1>1
所以
x^4+x^2+1=0 的解為無解(無實數解)

隔壁的方法只能判斷"無"有理根
但不能說就是"有"無理數解
=>因為可能無實數解。

解法沒有錯
第一題利用牛頓法

(2)解 漂亮
(1)解 怪怪的