一元二次方程式(國中難題 高手請入!!!!)

公式解得

x = [2(m+1)+/-√D] / 2，其中 D為判別式
因為 x 為整數，但上式中有分母 2，所以 D 是 4 的倍數且是平方數

D = [-2(m+1)]^2 - 4m^2 = 4(m+1)^2 - 4m^2 = 4(m^2+2m+1-m^2) = 4(2m+1)

由上式看出 D 必為 4 的倍數，所以只剩下 2m +1 必須是平方數的問題

因為 2m + 1 是奇數，所以要找奇數的平方數

2m + 1 = 3^2 = 9 ---> m = 4(不到兩位數)
2m + 1 = 5^2 = 25 ---> m = 12
2m + 1 = 7^2 = 49 ---> m = 24
2m + 1 = 9^2 = 81 ---> m = 40
2m + 1 = 11^2 = 121 ---> m = 60
2m + 1 = 13^2 = 169 ---> m = 84
2m + 1 = 15^2 = 225 ---> m = 112(超過兩位數）

所以共 5 個 -------------------------ANS※

設一元二次方程式x^2－2(m+1)x+m^2=0有整數根，且m為兩位數的自然數，
則符合題意的m有幾個?
Sol
設兩根為p，q，p>=q
p+q=2(m+1)
pq=m^2
p=｛2m+1)+√[4(m+1)^2－4m^2]｝/2=m+1+√(2m+1)
q=m+1－√(2m+1)
√(2m+1)為奇數
設 √(2m+1)=2w+1
10<=m<=99
20<=2m<=198
21<=2m+1<=199
√21<=√(2m+1)<=√199
4.58<=√(2m+1)<=14.2
4.58<=2w+1<=14.2
3.58<=2w<=13.2
1.79<=w<=6.6
2<=w<=6
6－2+1=5

看到X^2-2?-M^2自然的聯想到
(X-M)^2=X^2 -2MX+M^2
然後因為原式=0
所以把(X-M)^2減去原式
得到2(m+1)x-2mx=2x
原式=0所以(x-m)^2減去原式不變=2x


結果:(x-m)^2=2x

我再補充回答好了，忽然卡住了....

2013-01-11 15:30:53 補充：
willian有答案耶，你選他好了~
我的應該是錯的借你參考XD