困難的體積題

圖片參考：http://i1099.photobucket.com/albums/g395/jasoncube/672A547D540D1-1_zps757d3322.png


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(a)
因為等邊三角形的形心到三角形的三個頂點等距離，所以此形心是其外接圓的圓心。

(b)
(i)
因為三個大球的球心離地面一樣高，形成一個正三角形。小球較小，所以球心離地面較低，所以形成一個倒立的四面體。
(ii)
設三個大球的球心為 A,B,C 投影到地上的點為 A',B',C'，△ABC 形心為 G，
△A'B'C' 形心為 G'。
令小球圓心為 O，OG' 為其半徑 r，在 AA' 上取一點 P 使得 PA' 長 = r
因為 AA' 長為大圓半徑 3 ，所以 AP = 3 - r
AO 為大圓半徑加小圓半徑，即 AO = 3 + r
OP 長 = 地面上 A'M' 的長，此長度為△A'B'C' 中線長的 2/3
所以 OP = [(√3) / 2]*A'B'*(2/3) = [(√3) / 2]*6*(2/3) = 2√3
整理一下： AP = 3 - r，OP = 2√3， AO = 3 + r
但 △APO 是一個直角三角形，其中角APO是直角
所以由畢氏定理得 (3 + r)^2 = (3 - r)^2 + (2√3)^2
解得 r = 1
所以小球體積 = (4pi/3) * r^2 = (4pi/3) * 1 = (4pi/3) ---------- ANS.