經濟學的問題-效用極大

因為所得全部用來買 x、y，而所得為1000元，x、y價格分別為 100、50元，
所以 100x + 50y = 1000 且 x >= 0, y>= 0
每一項除以50得 2x + y = 20 ------------------(1)
將此圖形畫在直角座標上，就是一線段，和 x軸交於一點 A(10, 0)
和 y軸交於一點 B(0, 20)

U(x,y)=(x+20)的平方+(y-10)的平方 我們記為 U(x,y) = (x+20)^2 + (y-10)^2
因為點(x, y) 到點(a, b)的距離平方為 (x-a)^2 +(y-b)^2
所以U(x,y) = (x+20)^2 + (y-10)^2 可視為點 (x, y) 到點 (-20, 10) 的距離平方
因為受到必須符合 (1) 的限制，所以點 (x, y) 必須在線段 AB上。

在直角座標上畫出點 (-20, 10) 後就可看出，這點離線段 AB上的點最遠的就是 A點 (10, 0)，此距離的平方就是 U(x,y) 的最大效益值

此時 U(x,y) = (10 + 20)^2 + (0 – 10)^2 = 900 + 100 = 1000
而 A 點就是我們要找的點 x = 10，y = 0

所以結論就是，1000元全部用來買 x 效益最大。

問題中的效用函數非常詭異, 違反組濟學理論(假說).
X, Y 的邊際效用都遞增, Y 的邊際效用在 Y 消費量不高時更是負的.
這是很沒有道理, 完全違反人性的.
從而, 若這是經濟學上的題目, 出題者應該被罵!
由於效用函數違反經濟學定律, 經濟學教本上的均衡條件不再適用.

2013-01-11 10:19:14 補充：
由於 X 的邊際效用是 2(x+20), Y 的邊際效用是 2(y-10).
又由於 X 與 Y 之價格比為 2:1, 因此, 犧牲一單位 X 財貨
可換取2單位 Y 財貨 也就是說, 總合而言, 在 X 財貨犧牲
2(x+20) 單位的效用, 在 Y 財貨獲得 4(y-10) 單位的效用.
若 2(x+20) 不低於 4(y-10) 則不必以 X 換 Y. 而在預算額
度內, y 最大是 1000/50=20, 此時 x=0. 結果可知在預算額
度內, 2(x+20) 都不低於 4(y-10). 故, 完全買 X 財貨可得最
大效用.