數學知識交流 － Divisibility 數題 (3)

5)
要證明 a! b! (a + b)! | (2a)! (2b)! , 等同於要證明對任何質數 p 而言 ,
(2a)! (2b)! 質因數分解式中含 p的最高冪次
大於或等於 a! b! (a + b)! 質因數分解式中含 p的最高冪次。
而 n! 質因數分解式中含 p的最高冪次 = [n/p] + [n/p²] + [n/p³] + ...... ,
式中 [ ] 是取整符號。
故 (2a)! (2b)! 質因數分解式中含 p的最高冪次
= [2a/p] + [2b/p] + [2a/p²] + [2b/p²] + [2a/p³] + [2b/p³] + ...... ****** (1)而 a! b! (a + b)! 質因數分解式中含 p的最高冪次
= [a/p] + [b/p] + [(a+b)/p] + [a/p²] + [b/p²] + [(a+b)/p²]
+ [a/p³] + [b/p³] + [(a+b)/p³] + ...... ****** (2)
欲證 (1) ≥ (2) , 只需證明一個局部結果 :
對任意實數 x , y , 成立 [2x] + [2y] ≥ [x] + [y] + [x + y] ****** (3)
設 x = x' + m , y = y' + n , (0 ≤ m , n < 1) , 則 (3) 成為[2x' + 2m] + [2y' + 2n] ≥ [x'] + [y'] + [x' + m + y' + n]
2x' + [2m] + 2y' + [2n] ≥ x' + y' + x' + y' + [m + n]
[2m] + [2n] ≥ [m + n] ****** (3)
注意 0 ≤ [m + n] ≤ 1 , (因 0 ≤ m , n < 1)
若 [m + n] = 0 , (3)明顯成立。
若 [m + n] = 1 , 則 m + n ≥ 1 , 於是 m , n 中至少有一者 ≥ 1/2 ,
不妨設為 1 > m ≥ 1/2 , 故 [2m] + [2n] ≥ [2m] = 1。
故 (3) 成立 , 從而 (1) ≥ (2) ,
即 a! b! (a + b)! | (2a)! (2b)! 成立。 6) b² + ab + 1 | a² + ab + 1
⇒
b² + ab + 1 | a² + ab + 1 - (b² + ab + 1)
⇒
b² + ab + 1 | a² - b²
⇒
b(a + b) + 1 | (a - b) (a + b)因 ( b(a + b) + 1 , a + b ) = 1 , 故 b(a + b) + 1 | a - b ,
但 b(a + b) + 1 > a - b , 故 a - b = 0 , 即 a = b。