自然對數函數的積分

除了麻辣大師的解題外，第一題好像這樣做也可以：

1.
∫csc2x dx

令u=2x, dx=1/2 du
∫csc2x dx
=(1/2)*∫csc u du......下一步 ∫ 後的分子分母同乘以 csc u - cot u
=(1/2)*∫﹛[csc u * (csc u - cot u)] / (csc u - cot u)﹜ du
=(1/2)*∫﹛[(-csc u)*(cot u) + csc^2 u] / (csc u - cot u)﹜du
=(1/2)* ln ∣csc u - cot u∣ + c
=(1/2)* ln ∣csc 2x - cot 2x∣ + c

式子比較短，是剛好想到的啦！
若不是剛好想到，可能不是那麼容易
答案好像和麻辣大師不一樣，看看大師的是對的，檢查自己的好像也沒錯，
也許換算一下是一樣的也說不定。

2.
令u=x^(1/2) 則 u^2=x, 2u du = dx
原式
=∫ [u / (u-3)]*2u du
=2*∫ [u^2 / (u-3)] du....................................(1)
用長除法 u^2 ÷ (u-3) 得 u + 3 + 9/(u-3)
(1)=2*[ ∫u du + ∫3 du +∫ 9/(u-3) du]
=2*[(1/2)u^2 + 3u + 9* ln∣u-3∣ + c
=u^2 + 6u + 18*ln∣u-3∣ + c
[u=x^(1/2), 你自己代回去]

2013-01-07 15:57:16 補充：
&mid；是絕對值啦！打上去才發現是亂碼。
剛才在意見欄發現老怪物大也想到這個方法
非常同意，還是麻辣大師的解法比較穩當
這種剛好想到的方法不可靠，萬一沒想到........

謝謝老怪物的講解!!!
因為我是自學的緣故(書後都只有解答) 自己比較想要不要太技巧性的解法
因為真的很難想到!!!

(1)w=∫csc2xdx(1.1) 如果是平方: w=∫csc^2(x)dx=-cotx+c(1.2) 如果是2倍角:w=∫csc2xdx=∫csc(2x)d(2x)/2=0.5∫dy/siny......y=2x=0.5∫sindy/sin^2(y)=-0.5∫d(cosy)/[1-cos^2(y)]=-0.5∫du/(1-u^2).....u=cosy=-0.25∫[1/(1+u)+1/(1-u)]du=-0.25[ln(1+u)+ln(1-u)]+c=-(1/4)*ln[(1+u)(1-u)]/4+c=-(1/4)*ln(1-u^2)+c=-(1/4)*ln[1-cos^2(y)]+c=-(1/4)*ln[sin(y)]^2+c=-ln√(siny)+c=ln[1/√siny]+c=ln[1/√sin(2x)]+c.........ans (2) w=∫√x/(√x-3)dxLet x=y^2 => dx=2ydyw=∫2y^2*dy/(y-3)=2∫[y+3+9/(y-3)]dy=2[y^2/2+3y+9*ln(y-3)]+c=y^2+6y+18*ln(y-3)+c

2013-01-07 13:56:39 補充：
第1題漏打負號修改如下:

w==-0.25∫[1/(1+u)+1/(1-u)]du

=-0.25[ln(1+u)-ln(1-u)]+c

=-(1/4)*ln[(1+u)/(1-u)]+c

=-(1/4)*ln[(1+cosy)/(1-cosy)]+c

=-(1/4)*ln[(1+cos2x)/(1-cos2x)]+c

=(1/4)*ln[(1-cos2x)/(1+cos2x)]+c.........ans

(1) (d/dx) cot(x) = ?

(2) 設 u = x^{1/2}-3.

2013-01-07 15:34:32 補充：
(1) 如果是 ∫ csc(2x) dx, 用 u=2x 代換, 變成 (1/2)∫csc(u)du
∫ csc(u) du 是一個標準積分式了...
∫ csc(u) du = ∫ (csc(u)cot(u)+csc^2(u))/(cot(u)+csc(u)) du
= -ln|csc(u)+cot(u)| + C
當然用 csc(2x) = 1/sin(2x) 去化解亦可. 上面的解法不免太過
技巧性了, 怎會想到把 csc(u) 乘以 (cot(u)+csc(u))/(cot(u)+csc(u))?