討論：證明對所有大於1的整數n，3n和4n之間必存在質數。

這類問題最早可以溯源自1845年﹐那時伯特蘭 (Joseph Bertrand 1822–1900)提出在n和2n之間必定存在最少一個質數﹐他自己對[2,3 * 10^6]的n進行了驗證﹐但完整的証明要待1850年由柴比雪夫(Chebyshev 1821–1894)完成。

其後人們一方面將原本的定理加以擴充﹐另一方面則對一些特例尋求初等方法的証明。所謂初等意指証明過程中沒有使用高等數學﹐如複變函數論

前者如Pierre Dusart在2010年証明當x >= 396738﹐在x和(1 + 1/(25(lnx)^2) * x之間必定存在最少一個質數

後者如 M. El Bachraoui在2006年用初等方法証明了在2n和3n之間必定存在最少一個質數；其後﹐Andy Loo 根據M. El Bachraoui的方法証明了在3n和4n之間必定存在最少一個質數﹐他們的論文可以在「參考資料」中的Note內找到

Andy Loo 的方法主要是將4nC3n 分解成T1 * T2 * T3

T1 = Π p^[β(p)] (p <= √4n)
T2 = Π p^[β(p)] (√4n < p <= 3n)
T3 = Π p^[β(p)] (3n < p <= 4n)

然後証明T3 > 1﹐事實上他證明了當n -> ∞ 時﹐T3 -> ∞﹐由此可知質數的數目也會趨向無限大。

若果用已有的定理也可以簡單地加以証明。例如奈倉実郎(Jitsuro Nagura)在1952年証明了當n >= 25時﹐在n和(6/5)n之間必定存在最少有一個質數

那樣代n = 3n 便可得在3n和(18/5)n = 3.6n之間必定存在最少有一個質數

2012-12-31 23:31:55 補充：
是的。根據奈倉的結果﹐在4n和4.8n之間必定存在質數

對所有大於2的整數n，4n和5n之間必存在質數嗎?

2012-12-31 23:37:48 補充：
不過奈倉的結果只是對 n >= 25 生效...

2013-01-01 00:00:04 補充：
所以要檢驗 4n ≤24 ~