F4 maths 一元二次方程

a)
kx² - 6(4x-3k) + 9 = 0(其中k ≠ 0)有兩個相等的實根,
⇔
kx² - 24x + (18k+9) = 0 (其中k ≠ 0)有兩個相等的實根,∴ △ = (-24)² - 4k(18k+9) = 0
k(18k+9) = 144
18k² + 9k - 144 = 0
k = [ - 9 ± √( 9² - 4(18)(-144) ) ] / (2*18)
k = ( - 9 ± √10449 ) / 36
k = ( - 9 ± 9√129 ) / 36
k = ( - 1 ± √129 ) / 4k的兩個可能值 = ( - 1 + √129 ) / 4 或 ( - 1 - √129 ) / 4。 b)
kx² - 24x + (18k+9) = 0
x = ( 24 ± √△ ) / (2k) ..... 注意△= 0
x = 12 / k
由 a) :當 k = ( - 1 + √129 ) / 4 , x = 12 / [( - 1 + √129 ) / 4]
x = 48 / ( - 1 + √129 )
x = 48 (- 1 - √129 ) / [( - 1 + √129 ) (- 1 - √129)] .... 分母有理化
x = 48 (- 1 - √129 ) / [(-1)² - 129]
x = 48 (- 1 - √129 ) / - 128
x = 3 (1 + √129 ) / 8
當 k = ( - 1 - √129 ) / 4 , x = 12 / [( - 1 - √129 ) / 4]
x = 48 / ( - 1 - √129 )
x = 48 (- 1 + √129 ) / [( - 1 - √129 ) (- 1 + √129)]
x = 48 (- 1 + √129 ) / [(-1)² - 129]
x = 48 (- 1 + √129 ) / - 128
x = 3 (1 - √129 ) / 8

2012-12-17 02:34:54 補充：
b) 與每個k值對應方程的根

意思是你在 a) 已算出 k = ( - 1 + √129 ) / 4 或 ( - 1 - √129 ) / 4 了 ,
它們都令到方程 kx² - 24x + (18k+9) = 0 有兩個相等的實根呢(即x只有一個值)。

而 b) 的任務就要你算出當 k = ( - 1 + √129 ) / 4 時 x 只有一個什麼的值?
還有是當 k = ( - 1 - √129 ) / 4 時, 那 x 又只有一個什麼的值呢?

2012-12-17 02:35:08 補充：
kx² - 24x + (18k+9) = 0
x = [24 ± √( (-24)² - 4k(18k+9) )] / (2k)

然後把 k 代入去就計到了 , 好像會很麻煩 ,但實際上我們不必去計那個根號。
注意 x 只有一個值,所以那個麻煩的根號 : ±√( (-24)² - 4k(18k+9) 實際只是 0。

事實上在a) 中我們也是由(-24)² - 4k(18k+9) = 0 來求出兩個 k 的。

一句講哂 , √△ = √( (-24)² - 4k(18k+9) = 0 , 不用計!

2012-12-17 02:35:15 補充：
於是
x = ( 24 ± √△ ) / (2k) ..... △= 0
即
x = 12 / k

也可理解成兩根之和 x + x = - b/a = 24 / k ,
即 2x = 24 / k , 同樣可得 x = 12 / k。

之後直接代入兩個 k 值就是了(過程見回答內容),
注意練習一下分母有理化,小心計算,大致上沒問題。

2012-12-17 14:34:25 補充：
無錯,方程kx^2-6(4x-3k)+9=0有兩個相等的實根,
所以判別式△ = (-24)² - 4k(18k+9) = 0 ,
等同於 ±√( (-24)² - 4k(18k+9) = 0。

2012-12-17 14:43:04 補充：
You're welcome~

☂雨後陽光☀

~

可否進行詳細解釋

b題

2012-12-17 14:18:38 補充：
是否因為方程kx^2-6(4x-3k)+9=0有兩個相等的實根,

而

±√( (-24)² - 4k(18k+9) 等於0呀?

2012-12-17 14:40:44 補充：
thank you~!