3X 是 (X+1)和(5X+2)的等比中項

1. 3X 是 (X+1)和(5X+2)的等比中項，求X(X是正數)

　　等比中項：若b是a, c的等比中項，則b^2 = ac

　　所以(3x)^2 = (x + 1)(5x + 2)，展開

　　9x^2 = 5x^2 + 7x + 2

　　4x^2 - 7x - 2 = 0；(x - 2)(4x + 1) = 0

　　x = 2 or -1/4，但x是正數，所以x = 2


2. a + ar^3 = 65 -> a(1 + r^3) = 65----(1)

　ar + ar^2 = 20 -> a(1 + r) = 20------(2)

　兩式相除，(1)除以(2)，(1 + r^3) / (1 + r) = 65/20 = 13/4

　利用長除法把左邊除出來，1 - r + r^2 = 13/4，兩邊同乘以4並整理，
　(當然也可以背立方和公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

　4 - 4r + 4r^2 = 13 -> 4r^2 - 4r - 9 = 0

　所以4r^2 - 4r - 9的根就是公比r。
　r的數字不是很好看耶，題目本身就是要求公比嗎？

　代公式解，r = 1/8 * (4 ± 4√10) = 1/2 * (1 ± √10)

2012-12-16 00:01:49 補充：
啊，我發現問題了…第二式寫錯，重來 XD

a + ar^3 = 65 -> a(1 + r^3) = 65------(1)
ar + ar^2 = 20 -> ar(1 + r) = 20------(2)

(1) 除以 (2)，(1 + r^3) / r(1 + r) = 13/4

前面分母少算一個r

所以整理到後面會變成4 - 4r + 4r^2 = 13r

4r^2 - 17r + 4 = 0；(r - 4)(4r - 1) = 0

因此r = 4 or r = 1/4

2012-12-16 00:03:08 補充：
但A < B < C < D，因此公比要>1

所以公比 = 4。

2012-12-17 00:06:39 補充：
既然你也知道是碰巧的對了，表示這就真的只是碰巧而已...

例如：x+1是 x-1、2x+2的等比中項，且x為正數。

所以你是否要代x = 1 2x = -2，因此x + 1 = -2，x = -3？

可是不是，答案是x+1 = 4，因此x = 3

2012-12-17 00:09:27 補充：
既然是選擇題，那把四個選項都代進去自然是可行的做法，

但是請不要任意代1進去，那只是因為這題的首項恰好為1。

原來的作法還是要會。

2012-12-18 11:46:36 補充：
因為有選項，所以直接代可以

但是如果沒選項的話，就要把兩個解r = 4, 1/4都求出來。

再去考慮哪一個符合原題目的條件

1. 等比中項，即a/r,a,a×r的a。
前後兩項相乘=中間項的平方
得(3x)2=(x+1)·(5x+2)
-4x2+7x+2=0
x=2或-1/4


2.那樣設也可以，但容易卡，教一個方法，定公比=r^2
則A=a/r^3
B=a/r
C=ar
D=a×r^3

則
A+D=a(r^3+1/r^3)=65
B+C=a(r+1/r)=20

相除，得 (r^3+1/r^3)÷(r+1/r)=65÷20=13/4

從乘法公式得(r^3+1/r^3)=-3(r+1/r)+(r+1/r)^3
-3+(r+1/r)^2=13/4
(r+1/r)2=25/4
r+1/r =5/2

r=1/2或2，但公比是=r^2
所以公比=4或1/4





2012-12-16 00:09:31 補充：
公比>1
所以公比=4

第2題 1-r+r^2 = (13/4)r
解得 r=4 (另一根小於 1 不合條件).