1.某班人數六十人,在一次抽考英文,數學,化學之考試中,英文及格者41人,數學及格者39人,化學及格者42人,英數不及格者14人,數化不及格者13人,英化不及格者11人,至少一科不及格者29人,則:
(1)三科都不及格的有幾人?答9
(2)只有數學一科不及格的有幾人?答3
3.周長為20且三邊長均為整數的不全等三角形,共有幾種?答8種
麻煩請用簡單和明瞭的方法詳細敘述,因為這題問很久還是不太懂,麻煩教我列式
3.將triangle重新排列,試求:至少有一端排子音的排法有幾種?答36000種
4.由1,2,3,4,5,6六個數字所組成(數字可以重複)的四位數中含有奇數個1的共有多少個?答520個
5.有紅黃藍綠白黑共6顆色球,放入大中小三個箱子內,每箱不得超過四球
(1)6顆球放入三個箱子的方法有幾種?答690種
(2)規定藍色球必須放入大箱子,此6球放入三個箱子的方法有幾種?答230種
因為排列組合不好麻煩請大大講詳細一點
高中數學解題
2012-12-10 4:54 pm
回答 (3)
2012-12-10 6:24 pm
✔ 最佳答案
1.某班人數六十人，在一次抽考英文，數學，化學之考試中，英文及格者41人，數學及格者39人，化學及格者42人，英數不及格者14人，數化不及格者13人，英化不及格者11人，至少一科不及格者29人則：
(1)三科都不及格的有幾人?
Sol
設每科都不及格的有x人
英數不及格者14人，數化不及格者13人，英化不及格者11人
英數不及格化學及格者14－x人
英化不及格者數學及格者11－x人
數化不及格者英文及格者13－x人
英文不及格者19人，數學不及格者21人，化學不及格者18人
只有英文不及格者=19－(14－x)－(11－x)－x=x－6人
只有數學不及格者=21－(14－x)－(13－x)－x=x－6人
只有化學不及格者=18－(11－x)－(1－-x)－x=x－6人
至少一科不及格者29人
29=(x－6)+(x－6)+(x－6)+(14－x)+(11－x)+(13－x)+x
29=x+20
x=9
(2)只有數學一科不及格的有幾人?
x－6=9－6=3
3.周長為20且三邊長均為整數的不全等三角形－共有幾種?
Sol
設三邊長為a，b，c，a<=b<=c
a+b+c=20
(1) a=1
b+c=19
b=9，c=10(不合)
(2) a=2
b+c=18
b=8，c=10(不合)
b=9，c=9------------------------1
(3) a=3
b+c=17
b=7，c=10(不合)
b=8，c=9------------------------2
(4) a=4
b+c=16
b=6，c=10(不合)
b=7，c=9-----------------------3
b=8，c=8-----------------------4
(5) a=5
b+c=15
b=5，c=10(不合)
b=6，c=9…………………..5
b=7，c=8-----------------------6
(6) a=6
b+c=14
b=6，c=8----------------------7
b=7，c=7----------------------8
共8種
3.將triangle重新排列試求：至少有一端排子音的排法有幾種?
Sol
字字不同3母音5子音
兩端都排母音
3*2*6!=4320
8!－4320=36000
4.由1，2，3，4，5，6六個數字所組成(數字可以重複)的四位數中含有奇數個
1的共有多少個?
Sol
(1) 1個1
C(4－1)*5^3=500
(2) 3個1
C(4－3)*5=20
500+20=520
5.有紅黃藍綠白黑共6顆色球，放入大中小三個箱子內，每箱不得超過四球
(1)6顆球放入三個箱子的方法有幾種?
Sol
設大箱子放a球，中箱子放b球小箱子放c球，a+b+c=6
(1) 6顆球放入三個箱子的方法有幾種?
有1個箱子放5球=C(3，1)*c(6，5)*C(2，1)=3*6*2=36
有1個箱子放6球=C(3，1)=3
3^6－36－3=690
(2)規定藍色球必須放入大箱子，此6球放入三個箱子的方法有幾種?
有1個箱子放5球
C(5，4)*C(2，1)+C(2，1)=5*2+2=12
有1個箱子放6球=1
3^(6－1)－12－1=230
2012-12-11 10:56 pm
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2012-12-10 5:53 pm
1. 令A為英文及格的集合、同理B為數學、C為化學。
畫文氏圖，則n(A) = 41；n(B) = 39；n(C) = 42；
A∩B，就是英文、數學都及格的，A∪B就是英文、數學至少一科及格的
同理，A∩B∩C就是三科都及格的，A∪B∪C就是三科至少有一科及格的。
60 - n(A∪B) = 14；n(A∪B) = 46 -> n(A∩B) = 41 + 39 - 46 = 34
60 - n(B∪C) = 13；n(B∪C) = 47 -> n(B∩C) = 39 + 42 - 47 = 34
60 - n(A∪C) = 11；n(A∪C) = 49 -> n(A∩C) = 41 + 42 - 49 = 34
60 - n(A∩B∩C) = 29 -> n(A∩B∩C) = 31 -> 有31人三科都及格。
則n(A∪B∪C) = 41 + 39 + 42 - 34 - 34 - 34 + 31 = 51
-> 至少有一科及格的人數為51人
(1) 三科都不及格 -> 60 - 51 = 9 (人)
(2) 只有數學不及格 -> 英化兩科都要及格 -> n(A∩C) - n(A∩B∩C)
= 34 - 31 = 3 (人)
所以這個方式哪邊看不懂嗎，有沒有自己畫圖看看？
如果文氏圖不會畫，在這地方就會滿痛苦的。
2. 不直接列出來? 可是直接列出來是最快的解法啊，何須列式 XD
真要列式，就會變成
最大邊為9 -> 剩下兩邊x + y = 11，且x, y均<=9，可互換 -> 4種組合
最大邊為8 -> x + y = 12，且x, y <= 8 -> 3種組合
最大邊為7 -> x + y = 13，且x, y <= 7 -> 1種可能性
其實是沒有特別必要的列式。
3. 有t, r, n, g, l五個子音，
任選其一排左端的情形是5 x 7!，同理右端也是5 x 7!
又兩端都是子音的情況是C(5, 2) x 6! x 2(兩端互換) = 14400
至少有一端排子音 -> 10 x 7! - 14400 = 50400 - 14400 = 36000
(要先知道A∪B = A + B - A∩B)
另一種想法：兩端都排母音 -> C(3, 2) x 6! x 2 = 4320
所以全部排列8! - 4320 = 40320 - 4320 = 36000
4. 1個1 -> C(4,1) x 5^3 = 500，先選1個位置擺1，其他三個位置各5種組合
3個1 -> C(4,3) x 5 = 20，先選3個位置擺1，剩下的位置有5種組合
總共520個
5.
(1) 已知三個箱子不同。
若以下分成每箱放球數來討論，例如(4, 1, 1)代表一箱放4顆，另兩箱都1顆
(4, 1, 1) -> C(6, 4) x C(2, 1) = 15 x 2 = 30 (選四顆、再從剩下兩顆選一顆)
接下來決定4, 1, 1分別是哪個箱子 -> 3!/2! = 3，總和30 x 3 = 90種方式
(4, 2, 0) -> C(6, 4) = 15
同理，決定4, 2, 0分別是哪個箱子 -> 3!，總和15 x 6 = 90種方式
(3, 2, 1) -> C(6, 3) x C(3, 2) = 20 x 3 = 60
60 x 3! = 360種方式
(3, 3, 0) -> C(6, 3) = 20
20 x 3!/2! = 60種方式
(2, 2, 2) -> C(6, 2) x C(4, 2) = 20 x 6 = 120
120 x 3!/3! = 120種方式
總和會有90 + 90 + 360 + 60 + 120 = 720...?
是哪邊計算有誤嗎…可是看不太出來咧。
(2)
所以現在藍色球已經在大箱子裡了，還有五顆球要丟。
除了(4, 1, 0)的情況以外，都不可能會有箱子滿出來的情況，
所以其他可以先討論。
(3, 1, 1) -> C(5, 3) x C(2, 1) = 10 x 2 = 20
20 x 3!/2! = 60
(3, 2, 0) -> C(5, 3) = 10
10 x 3! = 60
(2, 2, 1) = C(5, 2) x C(3, 2) = 10 x 3 = 30
30 x 3!/2! = 90
2012-12-10 09:54:14 補充：
回答竟然超過字數...- -
補到第五題最後面
那麼(4, 1, 0)呢？選球是C(5, 4) = 5，但4顆球不可以丟進大箱
所以4顆的可以丟進中、小箱，1顆的可以丟進另兩箱之一
所以5 x 2 x 2 = 20
總和60 + 60 + 90 + 20 = 230
2012-12-10 09:54:52 補充：
有看到的人順便看看第五題(1)小題，我怎算出來是720 XD
2012-12-10 12:49:45 補充：
好吧，第五題我想複雜了 ._.
畫文氏圖，則n(A) = 41；n(B) = 39；n(C) = 42；
A∩B，就是英文、數學都及格的，A∪B就是英文、數學至少一科及格的
同理，A∩B∩C就是三科都及格的，A∪B∪C就是三科至少有一科及格的。
60 - n(A∪B) = 14；n(A∪B) = 46 -> n(A∩B) = 41 + 39 - 46 = 34
60 - n(B∪C) = 13；n(B∪C) = 47 -> n(B∩C) = 39 + 42 - 47 = 34
60 - n(A∪C) = 11；n(A∪C) = 49 -> n(A∩C) = 41 + 42 - 49 = 34
60 - n(A∩B∩C) = 29 -> n(A∩B∩C) = 31 -> 有31人三科都及格。
則n(A∪B∪C) = 41 + 39 + 42 - 34 - 34 - 34 + 31 = 51
-> 至少有一科及格的人數為51人
(1) 三科都不及格 -> 60 - 51 = 9 (人)
(2) 只有數學不及格 -> 英化兩科都要及格 -> n(A∩C) - n(A∩B∩C)
= 34 - 31 = 3 (人)
所以這個方式哪邊看不懂嗎，有沒有自己畫圖看看？
如果文氏圖不會畫，在這地方就會滿痛苦的。
2. 不直接列出來? 可是直接列出來是最快的解法啊，何須列式 XD
真要列式，就會變成
最大邊為9 -> 剩下兩邊x + y = 11，且x, y均<=9，可互換 -> 4種組合
最大邊為8 -> x + y = 12，且x, y <= 8 -> 3種組合
最大邊為7 -> x + y = 13，且x, y <= 7 -> 1種可能性
其實是沒有特別必要的列式。
3. 有t, r, n, g, l五個子音，
任選其一排左端的情形是5 x 7!，同理右端也是5 x 7!
又兩端都是子音的情況是C(5, 2) x 6! x 2(兩端互換) = 14400
至少有一端排子音 -> 10 x 7! - 14400 = 50400 - 14400 = 36000
(要先知道A∪B = A + B - A∩B)
另一種想法：兩端都排母音 -> C(3, 2) x 6! x 2 = 4320
所以全部排列8! - 4320 = 40320 - 4320 = 36000
4. 1個1 -> C(4,1) x 5^3 = 500，先選1個位置擺1，其他三個位置各5種組合
3個1 -> C(4,3) x 5 = 20，先選3個位置擺1，剩下的位置有5種組合
總共520個
5.
(1) 已知三個箱子不同。
若以下分成每箱放球數來討論，例如(4, 1, 1)代表一箱放4顆，另兩箱都1顆
(4, 1, 1) -> C(6, 4) x C(2, 1) = 15 x 2 = 30 (選四顆、再從剩下兩顆選一顆)
接下來決定4, 1, 1分別是哪個箱子 -> 3!/2! = 3，總和30 x 3 = 90種方式
(4, 2, 0) -> C(6, 4) = 15
同理，決定4, 2, 0分別是哪個箱子 -> 3!，總和15 x 6 = 90種方式
(3, 2, 1) -> C(6, 3) x C(3, 2) = 20 x 3 = 60
60 x 3! = 360種方式
(3, 3, 0) -> C(6, 3) = 20
20 x 3!/2! = 60種方式
(2, 2, 2) -> C(6, 2) x C(4, 2) = 20 x 6 = 120
120 x 3!/3! = 120種方式
總和會有90 + 90 + 360 + 60 + 120 = 720...?
是哪邊計算有誤嗎…可是看不太出來咧。
(2)
所以現在藍色球已經在大箱子裡了，還有五顆球要丟。
除了(4, 1, 0)的情況以外，都不可能會有箱子滿出來的情況，
所以其他可以先討論。
(3, 1, 1) -> C(5, 3) x C(2, 1) = 10 x 2 = 20
20 x 3!/2! = 60
(3, 2, 0) -> C(5, 3) = 10
10 x 3! = 60
(2, 2, 1) = C(5, 2) x C(3, 2) = 10 x 3 = 30
30 x 3!/2! = 90
2012-12-10 09:54:14 補充：
回答竟然超過字數...- -
補到第五題最後面
那麼(4, 1, 0)呢？選球是C(5, 4) = 5，但4顆球不可以丟進大箱
所以4顆的可以丟進中、小箱，1顆的可以丟進另兩箱之一
所以5 x 2 x 2 = 20
總和60 + 60 + 90 + 20 = 230
2012-12-10 09:54:52 補充：
有看到的人順便看看第五題(1)小題，我怎算出來是720 XD
2012-12-10 12:49:45 補充：
好吧，第五題我想複雜了 ._.
收錄日期: 2021-04-30 17:03:14
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