二次函數A+2B

A + 2B = 40
A = 40 - 2B ...... [1]

把 [1] 代入 AB 中：
AB
= (40 - 2B)B
= (40B - 2B²)
= -2(B² - 20B)
= -2(B² - 20B + 10²) + 2 x 10²
= 200 - 2(B - 10)²

由於 -(B - 10)² ≤ 0，
故此 AB = 200 - 2(B - 10)² ≤ 200

當 B = 10 及 A= 20 時，AB 的最大值 = 200

也可以用消去變數法算:
由A+2B=40
= > A=40-2B 代入 AB…消去變數A
= >AB=(40-2B)B…成為單變數最大值問題
=-2B^2+40…為一個2次式，所以使用配方法處理
=-2(B^2-20)
=-2[(B-10)^2-100]
=-2(B-10)^2+200
所以
在B=10 (A=20)時，AB=200最大。

根據算幾不等式

A + 2B >= 2√(2AB)
40 >= 2√(2AB)
20 >= √(2AB)；兩邊平方
400 >= 2AB

當A = 2B時等號會成立，所以A + 2B = 40 -> 4B = 40

B = 10；A = 20時，AB有最大值200。

2012-12-08 12:39:10 補充：
如果限定A, B是正整數，像002一樣把回答都列出來也是可以的。

38 1
36 2
34 3
32 4
30 5
28 6
26 7
24 8
22 9
20 10
18 11

AB 最大值 200

A:20
B:10
AB:200