分數型求整數解

首先，因為a、b為自然數，
所以我們可以得知(5/a)>0、(3/b)>0，
且因為(5/a)-(3/b)=2，所以(5/a)>(3/b)+2>2

滿足(5/a)>2的自然數(正整數)a只有a=1、a=2兩個可能:

(1)當a=1時，
(5/1)-(3/b)=2
5-(3/b)=2
3=(3/b)
b=1

所以此組符合a、b皆為正整數，(a.b)=(1,1)

(2)當a=2時，
(5/2)-(3/b)=2
(1/2)=(3/b)
b=6

所以此組符合a、b皆為正整數，(a.b)=(2,6)

就只有(a.b)=(1,1)或(2,6) 。

2012-12-06 09:38:13 補充：
你如果有疑惑，把a=3代入開始，
會發現對應的b都會變成負的，而且還不保證是整數，
因為如果(5/a)比2還小的時候，他減去(3/b)要等於2，
那就暗示了我們(3/b)要是個負數，
可是b是自然數，不可能發生(3/b)<0的狀況，
所以本題很單純，只要驗證(5/a)>2的狀況即可。

2012-12-06 12:38:00 補充：
拍謝~~我要修正一句話:
因為(5/a)-(3/b)=2，所以(5/a)=(3/b)+2>2
因為我本來是要直接打(5/a)>2，
但是後來怕你看不懂，中間又加上(3/b)+2這段，
沒有改到那個符號~~應該是"=(3/b)+2"而不是">"

2012-12-06 15:15:04 補充：
你給的例子應該是:
(1/x)+(1/y)=(1/18)
(x+y)/xy=(1/18)
18x+18y-xy=0
xy-18x-18y=0
y(x-18)-18x=0
y(x-18)-18(x-18)=18x18=324
(x-18)(y-18)=324這樣才對吧!?

這題也可以因式分解來做，
意見區螞蟻大已經有分解了!
只不過這題照我這樣做其實比較快一點，
只要驗證a=1、2兩組就可以了~~
請參考意見區的分解法:)

2012-12-06 20:29:52 補充：
test~~補充好像又被吃掉了~~

Sol
(5/a)－(3/b)=2
ab[(5/a)－(3/b)]=2ab
5b－3a=2ab
2ab+3a－5b=0
(2ab+3a)－5b=0
a(2b+3)－5b=0
2a(2b+3)－10b=0
2a(2b+3)－5(2b)=0
2a(2b+3)－5(2b+3)=－15
(5－2a)(2b+3)=15
(1) 5－2a=1
a=2
2b+3=15
b=6
(2) 5－2a=3
a=1
2b+3=5
b=1
(3) 5－2a=5
a=0(不合)
(4) 5－2a=15
a=－5(不合)
綜合(1)(2)(3)(4)
(a，b)=(2，6) or (1，1)

抱歉
我舉的例子打錯數據了
應該是(1/x)+(2/y)=1/18
18y+36x=xy
(x-18)(y-36)=18*36
(x-18)(y-36)=2^3*3^4
(2的3方乘以3的4方)

螞蟻真是雄兵--------> 太強了