試求無窮級數 0.9 + 0.099 + 0.00999 + ...... 之和
煩請協助提供簡易解題過程，大大感恩
更新1:
謝謝兩位好心人：老怪物大師 與 志融大師 迅速回答，非常感謝！
跪求 數學 無窮級數 0.9 + ...
回答 (2)
2012-11-30 4:15 am
✔ 最佳答案
(1-0.1)+(0.1-0.001)+(0.01-0.00001)+...= (1-1/10)+(1/10-1/10^3)+(1/10^2-1/10^5) +...
疑問: 第4項是什麼? 是 0.0009999 = 0.001-0.0000001 = 1/10^3-1/10^7?
若是, 則第 n 項是 1/10^(n-1) -1/10^(2n-1).
所以
0.9+0.099+0.00999+...
= (1+0.1+0.01+...)-(0.1+0.001+0.00001+...)
= 1/(1-0.1) - 0.1/(1-0.01) = 10/9-10/99 = 100/99.
2012-11-30 4:18 am
0.9 = 1 - 0.1
0.099 = 0.1 - 0.001
0.00999 = 0.01 - 0.00001
...
所以原式 = (1 - 0.1) + (0.1 - 0.001) + (0.01 - 0.00001) + ....
= (1 + 0.1 + 0.01 + ....) - (0.1 + 0.001 + 0.00001 + ....)
前面是以1為首項，0.1為公比的等比級數
後面是以0.1為首項，0.01為公比的等比級數
都代入無窮等比級數公式
= 1 / (1 - 0.1) - 0.1 / (1 - 0.01)
= 10/9 - 10/99 = 100/99
0.099 = 0.1 - 0.001
0.00999 = 0.01 - 0.00001
...
所以原式 = (1 - 0.1) + (0.1 - 0.001) + (0.01 - 0.00001) + ....
= (1 + 0.1 + 0.01 + ....) - (0.1 + 0.001 + 0.00001 + ....)
前面是以1為首項，0.1為公比的等比級數
後面是以0.1為首項，0.01為公比的等比級數
都代入無窮等比級數公式
= 1 / (1 - 0.1) - 0.1 / (1 - 0.01)
= 10/9 - 10/99 = 100/99
收錄日期: 2021-05-04 01:50:27
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20121129000016KK05126