超難幾何問題 求比例

這題就是孟氏定理的運用，
由這個圖形與孟氏定理可以得到關係式:

(AE/EB)x(BC/CD)x(DF/FA)=1

(AE/EB)x(2/1)x(4/1)=1

(AE/EB)x8=1

(AE/EB)=1/8

所以AE:EB=1:8

選擇選項(C)

2012-11-30 14:50:58 補充：
比較三角形ACE與三角形BCE，
這兩個三角形的面積比，就是底邊AE與EB的比，
(因為兩個三角形的高一樣，都是C點到AB的垂直距離)
假設說AE:EB=a:b，則我們假設AE=ka、EB=kb

同理，連接F與B，
看三角形AFE與三角形BFE的面積比，
依然因為兩個三角形高相同(都是F到AB的垂直距離)
所以面積比AFE:BFE=(AE長度):(EB長度)
我們可假設AE=ta、EB=tb

而AFC=ACE-AFE、FBC=CEB-BFE

因此面積比AFC:FBC=(ka-ta):(kb-tb)=(k-t)a:(k-t)b=a:b
因此兩者面積比=a:b=AE:EB

Answer : (C) 1 : 8

2012-11-29 15:04:10 補充：
Join BF, as AF : FD = 1 : 4, and, BD : DC = 1 : 1, so,
let area of AFC = x sq. units, then, the area of FDC is 4x sq. units,
and the area of FBD is also 4x sq. units.
AE : EB
= area of AFC : area of FBC
= area of AFC : (area of FBD + area of FBC)
= x : (4x + 4x)
= 1 : 8

2012-11-29 21:41:46 補充：
Assume AE : EB = x : y, let area of AEF = ax, area of AEC = (ax + bx).
Then area of BEF = ay, and area of BEC = (ay + by)
Therefore, area of AFC : area of FBC = bx : by = x : y

孟氏：
AE/EB * BC/CD * DF/FA=1
AE/EB * 2/1 *4/1=1
AE/EB =1/8

2012-11-29 14:58:50 補充：
面積：

令 AFC面積=1 ,
FDC=4=FDB
因此 AFC / BFC = 1/(4+4)=1/8 = AE / EB