✔ 最佳答案
擲一對公正的六面骰子, X 是兩者點數最小的, Y 是點數差.
(a) 在適當假設下, 求 X 之 p.m.f.
(c) 求 Y 之 p.m.f.
所需假設: 兩骰子的點數結果是相互獨立的.
這個假設很合理, 因為除非骰子是特殊材質, 或擲骰子的
手法很特別, 否則沒有理由認為兩骰子的結果會相關聯.
所以兩骰子點數 (Z,W) 的可能值 (1,1),(1,2),...,(6,6) 共36種,
每一種各 1/36 的機率出現. 若以正式符號表示, 我們可以說
Z, W i.i.d. 具共同 p.m.f. h(z) = 1/6, z=1,2,...,6.
而 X=min{Z,W}, Y=|Z-W|.
要求 X, Y 的分布, 可以列表計算, 也可以列式計算:
f(x) = P[X=x] = P[min{Z,W}=x], x=1,2,...,6.
可以先計算 P[X≧x] = P[Z≧x,W≧x] = (P[Z≧x])^2.
當 x=1,2,...,6 時, P[Z≧x] = (7-x)/6. 故
P[X≧x] = (7-x)^2/36, x=1,2,...,6.
而後, x=1,...,6 時
P[X=x] = P[X≧x]-P[X>x] = (7-x)^2/36 - (6-x)^2/36 = (13-2x)/36.
至於 Y 的 p.m.f.:
g(0) = P[Y=0] = P[Z=W] = 6/36 = 1/6,
g(1) = P[Y=1] = P[Z=W+1]+P[W=Z+1] = 2*5/36 = 5/18,
當 y=1,2,...,5 時,
g(y) = P[Y=y] = P[Z=W+y]+P[W=Z+y] = 2*(6-y)/36 = (6-y)/18.
故
g(y) = 1/6 當 y=0;
= (6-y)/18 當 y=1,2,3,4,5.
2012-11-23 20:44:47 補充：
我就是想知道f(X) = 13 - 2X / 36 是怎麼出來的
[R]
以 minimum 或 maximum 統計量而言, 我回答中例示的方法
應該是最系統性而且方便的了. 它可以用在更一般的問題:
設 X1,...,Xn 相互獨立且服從同一分布, 其分布函數為 F(x).
設 Y=min{X1,...,Xn}, Z=max{X1,...,Xn}.
則 P[Y>y] = (P[X1>y])^n = (1-F(y))^n, P[Z≦z] = (F(z))^n.
2012-11-23 20:48:32 補充：
有了 P[Y>y] for all releave y's 及 P[Z≦z] for all z's, 則
Y 及 Z 的 p.d.f. 或 p.m.f. 也就容易得到了.
例如, 題目若改成丟 3 個或更多個骰子, 則列表法就
不方便了.
從已知的群體分布 (前例 X1,...,Xn 之共同分布) 求統
計量 (如前例之 minimum 及 maximum) 的分布, 是統
計專業人員學習中必須會的. 非統計專業人員, 大概知
道一下基本概念, 做幾個簡單例子幫助理解就可以了.
