(a+b)/(c+d)的大小

(a+b) / (c+d) 必定位於閉區間 [a/c , b/d] 等同於 若 a / c ≥ (a+b) / (c+d) , 則 (a+b) / (c+d) ≥ b / d .... (1)
及
若 a / c ≤ (a+b) / (c+d) , 則 (a+b) / (c+d) ≤ b / d ....(2)我們來證明 (1) :a / c ≥ (a+b) / (c+d)
⇔
a (c+d) ≥ c (a+b) ..... 不等號不轉向因 a,b,c,d > 0
⇔
ac + ad ≥ ac + bc
⇔
ad ≥ bc
⇔
ad + bd ≥ bc + bd
⇔
d (a+b) ≥ b (c+d)
⇔
(a+b) / (c+d) ≥ b / d 只需把 ≥ 轉成 ≤ 便同樣可證明 (2)。故 (a+b) / (c+d) 必定位於閉區間 [a/c , b/d] 。同樣可證明 (a+b) / (c+d) 且位於[a/d , b/c] 內 , 而這只需把 c , d 位置互換。於是命題獲證。