M2 Mathematical Induction

[2^(k - 1) + 1] + [2^(k - 1) + 2] + ... + 2^k ...(i)

可以看到
(i) 是一個 公差=1 的等差數列

首項 a1 = [2^(k - 1) + 1]
末項 an = 2^k
公差 = [2^(k - 1) + 2] - [2^(k - 1) + 1] = 1
項數 = n

而我們知道
an = a1 + (n - 1)d
則
(an - a1)/d = n - 1
n
= (an - a1)/d + 1
代入你的a1 和 an:
n
= {2^k - [2^(k - 1) + 1]}/1 + 1
= 2^k - [2^(k - 1) + 1] + 1

等差級數公式: Sn = (n/2)(a1 + an)
嗯…通常我會把(n/2)放前面…個人習慣
你step2 去step3 的時候用的是
Sn = [(an + a1)(n)]/2
(只是次序問題 不影響答案的…xD)

所以
(i)變成:
{2^k + [2^(k - 1) + 1]}{2^k - [2^(k - 1) + 1] + 1} / 2