兩題數學題目

設h(x) = -ax^2 - bx^2 + 7
而g(x) = -a(x+1)^2 - b(x+1) + 7就只是h(x)向左平移一格
因此g(x) 的最大值 = h(x)的最大值。
　　(當然你要把g(x)展開整理也行，可是長相難看…)

已知f(x) 的最小值為7，
因此f(x) = ax^2 + bx + 19 必可以配成 a(x-k)^2 + 7，k為某實數。

比較係數，所以"ax^2 + bx + 12"為完全平方式，

把h(x)寫成-ax^2 - bx - 12 + 12 + 7 = -(ax^2 + bx + 12) + 19 = -a(x-k)^2 + 19

其最大值為19，因此g(x)的最大值亦為19。


第二題
　　x^2 - 2x - 4y = 5，移項得y = 0.25x^2 - 0.5x - 1.25，代入x - 2y

　　因此x - 2y = x - 0.5x^2 + x + 2.5 = -0.5x^2 + 2x + 2.5
　　= -0.5(x^2 - 4x + 4) + 4.5，為二次函數，
　　= -0.5(x - 2)^2 + 4.5
　　當x = 2時，有最大值4.5。

2012-11-19 22:30:01 補充：
選擇題，以下從哪一段開始看不懂？

1. g(x)的最大值 = h(x)的最大值

2. f(x) 可以配成a(x-k)^2 + 7

3. 比較係數，"ax^2 + bx + 12"為完全平方式

4. h(x)改寫成 -a(x-k)^2 + 19

2012-11-19 22:39:18 補充：
呃？這麼嚴重…

　函數圖形的平移要記，
　把以x為自變數的函數，x換成x+1，則原函數圖形會向左移1格。

　向左移對最大值沒有影響吧？因此我們把函數轉換成h(x) = -ax^2 - bx^2 + 7比較好算。

因為二次函數f(x) = ax^2 + bx + 19有最小值，且最小值必發生在頂點，

　題目已知二次函數f(x)的最小值為7，其頂點必為(k, 7)，k是什麼數對我們不重要。

　因此可以把f(x) 配成 a(x - k)^2 + 7

　f(x) = "ax^2 + bx + 12" + 7，所以前面的ax^2 + bx + 12 = a(x - k)^2

2012-11-19 22:43:44 補充：
到這邊為止我們知道
　ax^2 + bx + 12 = a(x-k)^2 (某個完全平方式的a倍)-------------------(1式)

2012-11-19 22:44:09 補充：
接下來，題目問g(x)的最大值，等同求h(x)的最大值，一樣發生在h(x)的頂點。

h(x) = -ax^2 - bx + 7 (忽然發現我回答第一行打錯，h(x)應該長這樣才對)

　　= -ax^2 - bx -12 + 12 + 7(配一個-12 + 12進去，以方便寫成(1式)的形式。

　　= -(ax^2 + bx + 12) + 19

　　= -a(x-k)^2 + 19，其頂點為(k, 19)，且為開口向下的拋物線。

　　所以在x = k時，h(x)有最大值19

2012-11-19 22:45:52 補充：
至於k是多少？題目沒問，不是很重要。

當然，可以把ax^2 + bx + 12 = a(x^2 + b/a x + 12/a)拿去配方，用a, b來表示k。

2012-11-20 15:21:20 補充：
啊...我想到的作法太複雜了 :P

月下大的做法簡單許多 XD

http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=5937&prev=1185&next=5936

若f(x)=ax^2 + bx +19 的最小值為7，則g(x)= -a(x+1)^2 - b(x+1) +7 的最大值為?
Sol
存在實數p使得
f(x)=ax^2+bx+19=a(x－k)^2+7
ax^2+bx+19=a(x^2－2xk+k^2)+7=ax^2+(－2ak)x+(ak^2+7)
b=－2ak，19=ak^2+7
g(x)=－a(x+1)^2－b(x+1) +7
g(x－1)=－ax^2－bx+7
=－ax^2+2akx+7
=－(ax^2－2akx)+7
=－a(x^2－2kx)+7
=－a(x^2－2kx+k^2)+ak^2+7
=－a(x－k)^2+19

第一題似乎是JHMC國中數學競賽中的題目

1.f(x)=ax^2+bx+19=a(x^2+bx/a)+19=a(x+b/2a)^2+19-b^2/4a,
19-b^2/4a=7,b^2/4a=12
g(x)=-a(x^2+2x+1)-bx-b+7=-a[x^2+(2a+b)x/a]+7-a-b=-a[x+(2a+b)/2a]^2+7-a-b+(2a+b)^2/4a,7-a-b+(2a+b)^2/4a=7-a-b+(4a^2+4ab+b^2)/4a=7-a-b+a+b+b^2/4a=7+12=19
2.x^2-2x-4y=5,y=(x^2-2x-5)/4,x-2y=x-(x^2-2x-5)/2=x-1/2*x^2+x+5/2=-1/2(x^2-4x)+5/2=-1/2(x-2)^2+9/2,max=9/2.