✔ 最佳答案
不妨設 D(-1,0) , E(0,0) , B(1,0)。
令 C(m,n) , 則圓O方程為 m² + n² + En - 1 = 0 , 其中E是常數。
設 F(x,y) , 在 △CDE 中,
tan ∠FDE
= (SDF - SDE) / (1 + SDF * SDE)
= ((y-0)/(x+1) - 0) / (1 + 0)
= y / (x+1)tan ∠CDF
= (SDC - SDF) / (1 + SDC * SDF)
= ((n-0)/(m+1) - (y-0)/(x+1)) / (1 + n/(m+1) * y/(x+1))
= ((x+1)n - y(m+1)) / ((x+1)(m+1) + yn)∵ ∠FDE = ∠CDF
∴ y / (x+1) = ((x+1)n - y(m+1)) / ((x+1)(m+1) + yn)
y(x+1) (m+1) + y² n = (x+1)² n - y(x+1) (m+1)
2y(x+1) (m+1) + (y² - (x+1)² ) n = 0 ...... (1)
tan ∠DEF
= (SDE - SEF) / (1 + SDE * SEF)
= (0 - y/x) / (1 + 0)
= - y/xtan ∠CEF
= (SEF - SCE) / (1 + SEF * SCE)
= (y/x - n/m) / (1 + y/x * n/m)
= (ym - xn) / (xm + yn)∵ ∠DEF = ∠CEF
∴ - y/x = (ym - xn) / (xm + yn)
xym - x²n = - yxm - y²n
2xym + (y² - x²)n = 0 ...... (2)
(1) - (2) :2y(x+1) (m+1) + (y² - (x+1)² ) n - 2xym - (y² - x²)n = 0
2ym - (2x+1)n + 2y(x+1) = 0 ...... (3)
(2) - (3)*x :x(2x+1)n + (y² - x²)n - 2xy(x+1) = 0
(x²+y²+x)n - 2xy(x+1) = 0
n = 2xy(x+1) / (x²+y²+x)
代入(2) :2xym + (y² - x²) 2xy(x+1) / (x²+y²+x) = 0
m = (x+1)(x²-y²) / (x²+y²+x)
把 m , n 代入圓O方程 m² + n² + En - 1 = 0 :(x+1)²(x²-y²)² / (x²+y²+x)² + 4x²y²(x+1)² / (x²+y²+x)² + 2Exy(x+1) / (x²+y²+x) -1 = 0
(x+1)² (x²+y²)² / (x²+y²+x)² + 2Exy (x+1) / (x²+y²+x) - 1 = 0
(x+1)² (x²+y²)² + 2Exy (x+1)(x²+y²+x) - (x²+y²+x)² = 0
即為 F 的軌跡方程。
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特別地 , 當常數 E = 0 , 即 點E 為圓心時 , F 的軌跡為 : (x+1)² (x²+y²)² - (x²+y²+x)² = 0
( (x+1)(x²+y²) - (x²+y²+x) ) ( (x+1)(x²+y²) + (x²+y²+x) ) = 0
x (x² + y² - 1) ( (x + 1)(x² + y²) + (x² + y² + x) ) = 0
注意 (x² + y² - 1) ≠ 0 (這是 C 而非 F 的軌跡)故 x ( (x + 1)(x² + y²) + (x² + y² + x) ) = 0
當 x = 0 易知 F 為圓心 , 必有 y = 0 , 此時△CDE 退化為直徑 DEB。
所以
(x + 1)(x² + y²) + (x² + y² + x) = 0
(x + 2)(x² + y²) + x = 0 為 F 的軌跡方程。其圖像是一條在圓O內以半徑 DE 為對稱軸的葉形線。
圖片參考：
http://imgcld.yimg.com/8/n/HA04628698/o/20121130234221.jpg
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x+%28x%C2%B2+%2B+y%C2%B2+-+1%29+%28+%28x+%2B+1%29%28x%C2%B2+%2B+y%C2%B2%29+%2B+%28x%C2%B2+%2B+y%C2%B2+%2B+x%29+%29+%3D+0
當 B 和 D 位置變化時 , F 的軌跡會有變化 , 可透過繪圖驗證。
