數學極限的概念

感覺我好像回答過很類似的問題，直接拿來用…@@


嗯，我們先釐清你的想法，
例如lim2x，在x->3的時候極限是6，
你是不是覺得「它應該是"很接近6"的某一個數，而不應該剛好是6？」

(1/2)^n在n->無限大的時候，總和是1/(1-0.5) = 2，
你是不是覺得「它應該是"很接近2"的某一個數，而不應該剛好是2？」


先直接告訴你結論，第一題它就是6，第二題它就是2沒錯，
而不是很接近的某個數。


我們先拿另外一個經典題目出來，
我想會問這個問題，你應該也覺得「0.9循環不是1，是很接近1」對吧？
但是0.9循環它確實就是1沒錯，或者說「0.9循環是1的另一種表現方法」。

我們先不要管那些證明，證明隨便google一下就有了，但那些證明很難說服你，
頂多就是你看過之後，覺得"喔，我會證明，可是我還是覺得0.9循環跟1差一點點.."

其實啊，在數學上，同一個實數的表現形式不只一種，
我們有時候在研究實數論的時候，常把一個數表現成一個無窮級數和。
也就是你所謂的「好像越來越接近某一個數，但是感覺不會剛好等於它…」
"0.9循環" 只是 "1"的另一種表現形式而已，任何一個實數都可以表示成一個無窮級數的和，但這個級數"感覺上"只是越來越靠近他而已。


所以我們假設某個極限存在，這個極限值是一個"確定的實數"
它有另一種表示法，就寫成我們要求的這個式子

例如6，可以寫成lim(x->2)3x，或者lim(x->6)x等等。


我只能跟你說不要想太多，等到大學，修完一年微積分之後，
假設還是有這種感覺，再去旁聽看看數學系的高等微積分。

2012-11-15 19:07:02 補充：
或者說先去找找比較科普等級的微積分書，或甚至一些中譯的微積分課本，或網頁之類的

找找寫的比較簡單，你看得下去的ε-δ極限定義，

試著在腦袋裡想像他是怎麼越來越靠近…到取出極限值的方式。

2012-11-15 19:12:46 補充：
其實好像還滿多人有這問題，

只是很少在高中、大學的課堂上聽到有人問，為什麼呢。

2012-11-15 22:21:49 補充：
因為很多學生都是死記硬背極限的解法，又很少人會特地提這個觀念出來問。

所以很多人一直沒有把取極限過程的"趨近某數"這個動作，

跟取到的極限這個"數值"分清楚，於是就一直保留這個疑問囉…。

2012-11-15 23:45:10 補充：
那個圖是怎麼回事啦，是要專精什麼 XDDD

http://1.bp.blogspot.com/-qIs0H2oY4BQ/T5bUy0-eQ2I/AAAAAAAAAs0/Xp_D2ocFo1Q/s1600/%E8%9E%A2%E5%B9%95%E5%BF%AB%E7%85%A7+2012-04-25+%E4%B8%8A%E5%8D%8812.28.35.png

雖然這個圖還蠻哀怨的(?

下面那個一直達不到的能力，是f(x)
lim(x->無限) f(x) 「等於」專精，也就是指那條線。

2012-11-15 23:43:35 補充：
極限表示的是「那個正在被靠近的值」
如果一直從f(x)的看法去看極限，自然會覺得極限很像近似值，其實不是。

當然，極限一開始的觀點，還是從旁邊趨近的
因為有時候沒辦法直接代點，只好從旁邊觀察。
但是無論如何，極限是個定值，不是定值的話就說極限不存在了。

"既然是一個極限值 那為什麼會有一個正確答案?"

有這樣的想法就表示對 "極限" 完全是錯誤理解.

既然是 "極限值" 了, 當然是唯一值.

"極限值" 是一個值, 不是任何抽象的概念.