關於極限的一個証明

假設:
"若X趨近於a時，f(X)=0，且g(X)/f(X)之極限存在，則X趨近於a時，g(X)不等於0"(使用反證法)

因為若X趨近於a時，f(X)=0而g(X)不等於0，
所以我們假設X趨近於a時，g(X)=k，k為任意實數，
則X趨近於a時，g(X)/f(X)=k/0<---不存在，分母為0無意義，
因此與"若X趨近於a時，f(X)=0，且g(X)/f(X)之極限存在"矛盾，
故由反證法得知:g(X)=0恆成立。

希望這樣有幫上你喔^^

2012-11-15 13:29:27 補充：
最後一句我修正一下，應該改成:
"若X趨近於a時，f(X)=0，且g(X)/f(X)之極限存在，則X趨近於a時，g(X)=0"恆成立

g(x) = f(x)．g(x)/f(x)
因 lim f(x), lim g(x)/f(x) 都存在,
故 lim g(x) = lim f(x) lim g(x)/f(x) = 0．lim g(x)/f(x) = 0.
以上是利用定理證明.


欲用定義證明, 也就是要證明:
對任意正數 e, 存在正數 d, 使得
只要 0 < |x-a| < d 則 |g(x)| < e.

2012-11-16 19:55:18 補充：
首先, 因 lim g(x)/f(x) 存在, 令極限為 A.
故存在 d1 > 0 使得
只要 0 < |x-a| < d1, 則 |g(x)/f(x) - A| < |A|/2+1,
故此時 |g(x)/f(x)| < 3|A|/2+1 記為 B.

2012-11-16 19:55:30 補充：
對任意 e > 0, 存在 d2 > 0, 使得
只要 0 < |x-a| < d2 則 |f(x)| < e/B.

故, 當 0 < |x-a| < min{d1,d2} 時,
|g(x)| = |f(x)|．|g(x)/f(x))| < (e/B)．B = e.

也就是說: 對任意 e > 0, 存在 d (=min{d1,d2}) > 0,
使得: 只要 0 < |x-a| < d 則 |g(x)| < e.
故得證 lim g(x) = 0.

2012-11-16 20:00:32 補充：
附言:
"若X趨近於a時，f(X)=0" 是錯誤的敘述.

當然, 因為那是定理的假設條件, 這個條件可以規定
於 a 附近 f(x) 恆等於 0; 但如此則 g(x)/f(x) 無定義!

因此, 必須要求 f(x) 在 x 逼近 a 而不等於 a 時,
f(x) 恆不為 0.

所以條件應是:
x 趨近於 a 時, f(x) 趨近於 0.
以極限表示就是: lim f(x) = 0.

應該要把f(X)和g(X)反過來吧OA O

不然f(X) = x-1，g(X) = x+1，a = 1
不就找到反例了OA O

2012-11-15 19:17:39 補充：
設g(x)的極限是k
當k =/= 0，對於任意大的正數M
可以找到一個d，使得當 |x - a| < d 時，| g(x)/f(x) | > ... > M
所以發散掉了，k = 0

大概是這樣證吧，只是我也不會OA O(忘光了