M2 Definite Integration

[0, 1] 的意思是 0 和 1 之間的區間, 包括 0 和 1。
將[0, 1] 分成等闊的n個次區間

1. 次區間有多闊?
答: 1/n

2
(a) 1/n
(b) 找出 第 i 個次區間的高度:
因為 y = x^2 ...(i)
將 x = i/n 代入 (i),
y = (i/n)^2
答: height = (i/n)^2
(c)
答: area = (1/n)(i/n)^2 = i^2/n^3

3.
答:
Sn
= 1^2/n^3 + 2^2/n^3 + ... + n^2/n^3
= (1/n^3)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)
= (1/n^3)[(1/6)n(n + 1)(2n + 1)]
= (1/6)(n + 1)(2n + 1)/n^2
= (1/6)[(n + 1)/n][(2n + 1)/n]
= (1/6)(1 + 1/n)(2 + 1/n)

4.
(a)
Required answer = 0
(b)
Required answer
= (1/6)(1 + 0)(2 + 0)
= (1/6)(1)(2)
= 1/3

(b)
area A = lim(n -> ∞)Sn