簡單數學問題關於微分

既然是簡單數學問題，
用算幾不等式當然是一種方法..
(x + 2y + z) / 3 ≧ (2xyz)^(1/3)
40 / 3 ≧ (2xyz)^(1/3)，兩邊三次方
64000 / 27 ≧ 2xyz，同除以2
32000 / 27 ≧ xyz


不過標題寫微分，應該不是用算幾 XD

提供第二種方法：拉格朗日乘數法
令u = xyz + t(x + 2y + z - 40)

∂u/∂x = yz + t
∂u/∂y = xz + 2t
∂u/∂z = xy + t

令以上三者均等於0(此時xyz有最大值)。

yz + t = 0
xz + 2t = 0
xy + t = 0

by(1)(2), yz = xz/2 -> y = x/2
by(1)(3), yz = xy -> z = x

代入x + 2y + z = 40
則x + x + x = 40

x = 40/3
y = 20/3
z = 40/3

此時xyz有最大值32000 / 27

2012-11-14 09:20:37 補充：
啊咧，一看到這題目，腦中自己補完"x, y, z均>0這個條件"

不然就無解啦，會跑去無限大 ._.

應該只是單純條件沒打完 QQ

因為是 "關於微分", 所以:

(1) 用 Largrange, 在限制式下求極值的方法.

(2) 把 z 用 x, y 表示, xyz 變成 x, y 的函數,
(或 x 用 y, z 表示; 或 y 用 x, z 表示...)
求極值.

不過, 如 1樓所言, 若未限制 x,y,z 非負,
取 x=20-y=z, 則 xyz = y(20-y)^2 無上界.

若有限制 x,y,z 非負, 則求極值時還要考慮
所要的極值是否發生在 x=0, y=0, z=0 等邊界.

x+2y+z=40 分別求x，y，z 使乘積xyz為最大值
Sol
x=－100，y=120，z=－100
x+2y+z=－100+240－100=40
xyz=(－100)*120*(－100)=1200000>32000/27

1.算己不等式
(x+2y+z)/3≧(2xyz)^1/3
40/3≧(2xyz)^1/3
(40/3)^3≧2xyz
[(40/3)^3]/2≧xyz
32000/27≧xyz

xyz mix = 32000/27


2.利用向量與空間座標算法