急! F5 概率1 1 題1

a)
首先
P(永欣能夠獨立解決) = 3/4
P(玉晶能夠獨立解決) = 2/5
P(錦輝能夠獨立解決) = 2/3

試想想
問題能夠被解決的意思是?
就是問題最少有一個人能解決。

你的算法
3/4 x 2/5 x 2/3
所代表的是, 這個問題 他們三個都能夠解決了，
而還沒有計算，當中只有兩個甚至一個人能解決問題的時候。

用直接的思路(也就是你用過的方法):
a)
P(問題能夠被解決)
= P(三人都能解決) + P(只有永欣和玉晶能解決) +
P(只有永欣和錦輝能解決) + P(只有玉晶和錦輝能解決) +
P(只有永欣能解決) + P(只有玉晶能解決) +
P(只有錦輝能解決)

[很長…不過還是計算一下]

= (3/4 x 2/5 x 2/3) + [3/4 x 2/5 x (1 - 2/3)] +
[3/4 x (1 - 2/5) x 2/3] + [(1 - 3/4) x 2/5 x 2/3] +
[3/4 x (1 - 2/5) x (1 - 2/3)] + [(1 - 3/4) x 2/5 x (1 - 2/3)] +
[(1 - 3/4) x (1 - 2/5) x 2/3]

= 12/60 + 6/60 + 18/60 + 4/60 + 9/60 + 2/60 + 6/60
= 57/60
= 19/20


而你提供的標準答案的思路是:
「問題能夠被解決」的相反就是「這問題他們三個都解決不了」
所以
算法:
P(問題能夠被解決)
= 1 - P(這問題他們三個都解決不了)
= 1 - [P(永欣自己解決不了) x P(玉晶自己解決不了) x P(錦輝自己解決不了)]
= 1 - (1 - 3/4) x (1 - 2/5) x (1 - 2/3)
= 1 - 3/60
= 57/60
= 19/20


b) 問題問的, 用符號表示就是
P(最少一人能解決問題的前提下,永欣能夠解決問題)
= [P(永欣一人) + P(永欣和玉晶) + P(永欣和錦輝) + P(三人)] / P(最少一人)
= [3/4 x (1 - 2/5) x (1 - 2/3) + 3/4 x 2/5 x (1 - 2/3) + 3/4 x (1 - 2/5) x 2/3 +
3/4 x 2/5 x 2/3] / (19/20) ............根據a)
= (9/60 + 6/60 + 18/60 + 12/60) / (19/20)
= (45/60) / (19/20)
= 15/19

其實這個就是條件概率…
公式: P(A | B) = P(A及B) / P(B)
所以
b)可以寫成 P(永欣能解決 | 最少一人能解決) 之類的。

2012-11-12 22:55:47 補充：
所以
直接點的算法就是

答案
= P(永欣能解決 | 最少一人能解決)
= P(永欣能解決 及 最少一人能解決) / P(最少一人能解決) ...(i)


這裡
「永欣能解決 及 最少一人能解決」 的意思就是
這兩個事件同時要發生
而我們知道
只要永欣能解決問題, 就代表最少有一個人能夠解決, 而那個人就是永欣
所以 P(永欣能解決 及 最少一人能解決) = P(永欣能解決問題)

繼續, (i):
= P(永欣能解決) / P(最少一人能解決)
= (3/4) / (19/20) [分子是題目已經定義了的, 分母是我們在Part a) 計算出來的]
= 15/19

a)
P(永欣能解決問題) = 3/4
P(永欣不能解決問題) = 1 - (3/4) = 1/4

P(玉晶能解決問題) = 2/5
P(玉晶不能解決問題) = 1 - (2/5) = 3/5

P(錦輝能解決問題) = 2/3
P(錦輝不能解決問題) = 1 - (2/3) = 1/3

P(三人均不能解決問題)
= P(永欣不能解決問題) x P(玉晶不能解決問題) x P(錦輝不能解決問題)
= (1/4) x (3/5) x (1/3)
= 1/20

P(問題被解決) + P(三人均不能解決問題) = 1

所以 P(問題被解決)
= 1 - P(三人均不能解決問題)
= 1 - (1/20)
= 19/20

** 至於閣下的計法，是：
** P(三人均能解決問題)
** = P(永欣能解決問題) x P(玉晶能解決問題) x P(錦輝能解決問題)
** = (3/4) x (2/5) x (2/3)
** 這並不是正確的題解。


b)
P(最少一人能解決問題)
= 19/10

P(永欣能解決問題 及 最少一人能解決問題)
= P(永欣能解決問題)
= 3/4

P(永欣能解決問題 | 最少一人能解決問題)
= P(永欣能解決問題 及 最少一人能解決問題) / P(最少一人能解決問題)
= (3/4) / (19/20)
= 15/19

a)將概率乘起來是表示每個條件都要滿足才達成的概率, 換句話說,
你那條式得出的是三人同時答中的概率。
(1-3/4)、 (1-2/5)、 (1-2/3)是三人各自答不到題目的概率, 再以1減, 就是除了完全沒有人答中這題, 以外的所有可能性, 因此答案是1-[(1-3/4) x (1-2/5) x (1-2/3)]。

b)不太懂你的問題, 希望你能以完整句子補充。因為既然三人是獨立地解決一條問題, 那麼他們各自能解決問題的概率就不會受其他人影響, 那永欣能解決問題的概率就應該如題目所示的是3/4。