計 integration 有點問題

首先更正一下

d/dx ( x^3 / (1+lnx) )
= (1 + lnx)(3x^2) - x^3(1/x) / (1 + lnx)^2
= [3x^2 - x^2 + 3x^2lnx] / (1 + lnx)^2
= (2x^2 + 3x^2lnx) / (1 + lnx)^2
= x^2(2 + 3lnx) / (1 + lnx)^2


你給的那個 x^2(2 + 3lnx) / (1 + lnx) 少了一個次方…
用這個去積分,出來的答案當然會不一樣。


而 ∫[x^2(2 + 3lnx) / (1 + lnx)^2] dx
= ∫(2x^2 + 3x^2lnx) / (1 + lnx)^2] dx ...(i)

設
2x^2 + 3x^2lnx) / (1 + lnx)^2 = A/(1 + lnx) + B/(1 + lnx)^2 ...(ii)
2x^2 + 3x^2lnx = (A + B) + Alnx
比較左右各項, 可得
A = 3x^2
B = -x^2
代入(i)、(ii)可得
∫[x^2(2 + 3lnx) / (1 + lnx)^2] dx
= ∫3x^2/(1 + lnx)dx - ∫x^2/(1 + lnx)^2] dx ...(iii)

先看∫3x^2/(1 + lnx) dx 這一部分:
利用Integration by parts(分部積分法),
即 ∫u dv = uv - ∫v du ...(iv)
令
u = 1/(1 + lnx) 和 v = x^3
即
du = -1/(1 + lnx)^2 dx, dv = 3x^2 dx
則
∫u dv
= ∫[1/(1 + lnx)](3x^2) dx
= ∫3x^2/(1 + lnx) dx
= [1/(1 + lnx)](x^3) - ∫(x^3)[-1/x(lnx + 1)^2] dx + C (根據(iv), 把u, v, du, dv代入)
= x^3/(1 + lnx) + ∫x^2/(lnx + 1)^2 dx...(v)

所以
∫[x^2(2 + 3lnx) / (1 + lnx)^2] dx
= ∫3x^2/(1 + lnx) - ∫x^2/(1 + lnx)^2] dx ...(iii)
= x^3/(1 + lnx) + ∫x^2/(lnx + 1)^2 dx - ∫x^2/(1 + lnx)^2] dx ...(v)
= x^3/(1 + lnx) + C (C是常數)
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不知道你學過分部積分法沒有…
其實是product rule (乘積法則)演變出來的:

d/dx f(x)g(x) = f(x)g'(x) - g(x)f'(x)
兩邊積分:
f(x)g(x) = ∫f(x)g'(x) - ∫g(x)f '(x)
即
∫f(x)g'(x) = f(x)g(x) - ∫g(x)f '(x) ...(vi)

設 u = f(x), v = g(x)
則 du = f '(x), dv = g'(x)

(vi): ∫udv = uv - ∫vdu