高二數學有請各為位大德幫幫忙

4Sec^2 A+9Csc^2 A的最小值=?
Sol
4Sec^2 A+9Csc^2 A
=(4Sec^2 A+9Csc^2 A)*(Cos^2 A+Sin^2 A)
=[(2/CosA)^2+3(3/SinA)^2]*(Cos^2 A+Sin^2 A)
=2^2+3^3
=25

or
f(A)=4Sec^2 A+9Csc^2 A
f’(A)=8SecA(SecATanA)+18CscA(－CscACotA)
Set f’(A)=0
8SecA(SecaTanA)+18CscA(－CscACotA)=0
8SecA(SecATanA)=18CscA(CscACotA)
8*(1/CosA)*(SinA/Cos^2 A)=18(1/SinA)*(CosA/Sin^2 A)
8SinA/Cos^3 A=18CosA/Sin^3 A
8Sin^4 A=18Cos^4 A
Tan^4 A=Sin^4 A/cos^4 A=18/8=9/4
Tan^2 A=3/2
Sec^2 A=5/2，Csc^2 A=5/3
4Sec^2 A+9Csc^2 A最大值不存在
最小值=4*(5/2)+9*(5/3)=10+15=25



2012-11-12 16:28:40 補充：
4Sec^2 A+9Csc^2 A
=(4Sec^2 A+9Csc^2 A)*(Cos^2 A+Sin^2 A)
=[(2/CosA)^2+(3/SinA)^2]*(Cos^2 A+Sin^2 A)
>=(2+3)^2
=25

[(2secA)^2+(3cscA)^2][cos^ 2A +sin^ 2A ]>= (2+3)^2

(2secA)^2+(3cscA)^2>=25

當 2secA/cosA = 3 cscA / sinA 時等號成立

2/cos^ 2 A = 3 / sin^ 2 A

sin^ 2 A = 3/5 , csc^ 2 A =5/3

cos^A =2/5 , sec^ 2 A = 5/2

可以問個小問題嘛._./

sin(2A) = 1的時候，A = pi/4 45度

這時候secA, cscA同時為根號2

因此代回原式 = 4* 2 + 9*2 = 26 不是24哩

2012-11-12 09:41:31 補充：
真丟給程式下去跑，第一象限的最小值發生在50.7682835度

4*sec(50.7682835度)^2 + 9*csc(50.7682835度)^2 = 25

可怎麼來的呢...還想不到...囧>

2012-11-12 10:13:17 補充：
了解 雖然一開始有想到柯西 不過湊不太出來 XD

受教!

2012-11-12 12:37:41 補充：
感覺上...

從算幾推出原式>=24，但是不保證最小值是24

因為等號要成立在前面兩項相等的時候 ._.

首先要知道倒數關係:
secA=(1/cosA)
cscA=(1/sinA)
因此:4secA^2+9cscA^2=[4/(cosA)^2]+[9/(sinA)^2]

接著使用算幾不等式:
[4/(cosA)^2]+[9/(sinA)^2]≥2√{[4/(cosA)^2]x[9/(sinA)^2]}
[4/(cosA)^2]+[9/(sinA)^2]≥2√{36/[(cosA)^2(sinA)^2]}
[4/(cosA)^2]+[9/(sinA)^2]≥2x6√{1/[(cosAsinA)^2]}
[4/(cosA)^2]+[9/(sinA)^2]≥12√{1/[(cosAsinA)^2]}

所以:
[4/(cosA)^2]+[9/(sinA)^2]≥12/|cosAsinA|運用sin的兩倍角公式
[4/(cosA)^2]+[9/(sinA)^2]≥12/|(1/2)sin(2A)|
[4/(cosA)^2]+[9/(sinA)^2]≥24/|sin(2A)|
我們知道，當左式要有最小值時，即|sin(2A)|要有最大值，
而|sin(2A)|最大值為1(也就是當sin(2A)=1或-1時發生)，
故4secA^2+9cscA^2之最小值為24/1=24 。

2012-11-12 10:27:07 補充：
咦?這樣看來科西式可以算沒錯!
可是我的算法是哪裡有出錯嗎= =?
我找不太出哪裡有問題耶@@

2012-11-12 10:28:30 補充：
螞蟻大的最後key錯了!
應該是:
=[(2/CosA)^2+3(3/SinA)^2]*(Cos^2 A+Sin^2 A)≥(2+3)^2=25

2012-11-12 10:29:45 補充：
是說我找不到我的答案哪裡有錯@@
誰可以幫我偵錯一下咧~~