數學歸納法 中四題

here are the solutions:


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA00108663/o/20121112123701.jpg

whenP(n)：5^n (4n-1)+1 被16整除
當n = 1, 5 * 3 + 1 = 16 被16整除,P(1) 成立
假設當n = k, 5^k (4k-1)+1 被16整除
當n = k+1,
5^(k+1) (4k+4 -1)+1
= 5^(k+1) (4k+3)+1
= 5[5^k(4k + 3)]+1
= 5[5^k(4k - 1) + 1 + 5^k * 4 - 1] + 1
= 5 * 16M + 4 * [5^(k + 1) - 1]
= 5 * 16M + 4 * 4N
= 16(5M + N)被16整除
根據數學歸納法﹐對所有正整數n﹐P(n)成立
注：5^(n + 1) - 1 被4整除
當n = 1 時25 - 1 = 24 被4整除
假設5^(k + 1) - 1 被4整除
5^(k + 2) - 1 = 5(5^(k + 1) - 1) + 4 = 4(5M + 1) 被4整除
根據數學歸納法﹐對所有正整數n﹐5^(n + 1) - 1 被4整除

令P(n)：5^n (4n-1)+1 被16整除

當n = 1, 5 * 3 + 1 = 16 被16整除,P(1) 成立

假設當n = k, 5^k (4k-1)+1 被16整除

當n = k+1,

5^(k+1) (4k+4 -1)+1

= 5^(k+1) (4k+3)+1

= 5[5^k(4k + 3)]+1

= 5[5^k(4k - 1) + 1 + 5^k * 4 - 1] + 1

= 5 * 16M + 4 * [5^(k + 1) - 1]

= 5 * 16M + 4 * 4N

= 16(5M + N) 被16整除

根據數學歸納法﹐對所有正整數n﹐P(n)成立

注：5^(n + 1) - 1 被4整除

當n = 1 時25 - 1 = 24 被4整除

假設5^(k + 1) - 1 被4整除

5^(k + 2) - 1 = 5(5^(k + 1) - 1) + 4 = 4(5M + 1) 被4整除

根據數學歸納法﹐對所有正整數n﹐5^(n + 1) - 1 被4整除