關於數學歸立法~求救!

兩條題目也少打了一兩對括號…答案會相差很多。

1a)
設P(n) 為 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n - 1) = 2^n - 1

當n = 1
L.H.S. = 1
R.H.S. = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1 = L.H.S.
所以 P(1) 成立。

假設 P(k) 對所有正整數k成立：

當n = k + 1

L.H.S.
= 1 + 2 + 4 + ... + 2^(k - 1) + 2^k
= 2^k - 1 + 2^k
= 2(2^k) - 1
= 2^(k + 1) - 1
= R.H.S.

根據數學歸立法, 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n - 1) = 2^n - 1 對所有正整數n都成立。

1b)
1 + 2 + 4 + ... + 2048
= 1 + 2 + 4 + ... + 2^(11)
= 1 + 2 + 4 + ... + 2^(12 - 1)
= 2^12 - 1 (根據a)
= 4096 - 1
= 4095


2.
設 P(n) 為 a^(n + 1) + (a + 1)^(2n - 1) 可被a^2 + a + 1整除。

當n = 1
L.H.S.
= a^2 + a + 1, 可以被a^2 + a + 1整除
所以 P(1) 成立。

假設 對於所有正整數k, P(k)成立：
即 a^(k + 1) + (a + 1)^(2k - 1) = (a^2 + a + 1)M, 當中M為正整數

當n = k + 1
a^(n + 1) + (a + 1)^(2n - 1)
= a^[(k + 1) + 1] + (a + 1)^[2(k + 1) - 1]
= (a)[a^(k + 1)] + (a + 1)^[(2k -1) + 2]
= (a)[a^(k + 1)] + [(a + 1)^2][(a + 1)^(2k - 1)]
= (a)[a^(k + 1)] + (a^2 + 2a + 1)[(a + 1)^(2k - 1)]
= (a)[a^(k + 1)] + (a^2 + a + 1)[(a + 1)^(2k - 1)] + a[(a + 1)^(2k - 1)]
= a{a^(k + 1) + [(a + 1)^(2k - 1)]} + (a^2 + a + 1)[(a + 1)^(2k - 1)]
= a(a^2 + a + 1)M + (a^2 + a + 1)[(a + 1)^(2k - 1)]
= (a^2 + a + 1)[aM + (a + 1)^(2k - 1)] , 可以被a^2 + a + 1整除
所以 P(k + 1)成立

根據數學歸立法, 對於所有正整數n,
a^(n + 1) + (a + 1)^(2n - 1) 都可以被a^2 + a + 1整除。

1a)設P(n) 為 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n - 1) = 2^n - 1
當n = 1
L.H.S. = 1
R.H.S. = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1 = L.H.S.
so P(1) 成立。
假設 P(k) 對所有正整數k成立：
當n = k + 1
L.H.S.
= 1 + 2 + 4 + ... + 2^(k - 1) + 2^k
= 2^k - 1 + 2^k
= 2(2^k) - 1
= 2^(k + 1) - 1
= R.H.S.
根據數學歸立法, 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n - 1) = 2^n - 1 對所有正整數n都成立。
1b)1 + 2 + 4 + ... + 2048
= 1 + 2 + 4 + ... + 2^(11)
= 1 + 2 + 4 + ... + 2^(12 - 1)
= 2^12 - 1 (根據a)
= 4096 - 1
= 4095
2.設 P(n) 為 a^(n + 1) + (a + 1)^(2n - 1) 可被a^2 + a + 1整除。

當n = 1
L.H.S.
= a^2 + a + 1, 可以被a^2 + a + 1整除
so P(1) 成立。

假設 對於所有正整數k, P(k)成立：
即 a^(k + 1) + (a + 1)^(2k - 1) = (a^2 + a + 1)M, 當中M為正整數

當n = k + 1
a^(n + 1) + (a + 1)^(2n - 1)
= a^[(k + 1) + 1] + (a + 1)^[2(k + 1) - 1]
= (a)[a^(k + 1)] + (a + 1)^[(2k -1) + 2]
= (a)[a^(k + 1)] + [(a + 1)^2][(a + 1)^(2k - 1)]
= (a)[a^(k + 1)] + (a^2 + 2a + 1)[(a + 1)^(2k - 1)]
= (a)[a^(k + 1)] + (a^2 + a + 1)[(a + 1)^(2k - 1)] + a[(a + 1)^(2k - 1)]
= a{a^(k + 1) + [(a + 1)^(2k - 1)]} + (a^2 + a + 1)[(a + 1)^(2k - 1)]
= a(a^2 + a + 1)M + (a^2 + a + 1)[(a + 1)^(2k - 1)]
= (a^2 + a + 1)[aM + (a + 1)^(2k - 1)] , 可以被a^2 + a + 1整除
soP(k + 1)成立

根據數學歸立法, 對於所有正整數n,
a^(n + 1) + (a + 1)^(2n - 1) 都可以被a^2 + a + 1整除