割減法應用 - Ans.fyi 參考答案

割減法應用

用戶25975

2012-11-07 1:30 am

1) 設 M = 10x + y 及 N = x - ry，其中 x, y, r 是自然數。試為 r 選取一個合適的數值，並以該數值証明 41|M 當且僅當 41|N。

2) 利用 (1) 的方法, 判別 62197 能否被 41 整除。

回答 (1)

用戶2053

2012-11-07 3:42 am

✔ 最佳答案

1)
取 r = 4 , 則 M = 10x + y , N = x - 4y。若 41 | N , 設 N = 41n , (n 為整數) 。
則
M - 10N = 10x + y - 10(x - 4y)
M - 10(41n) = 41y
M = 41(y + 10n)
故 41 | M
;若 41 不整除 N , 設 N = 41n + a , (a = 1 , 2 , ... 40)。
則
M - 10N = 10x + y - 10(x - 4y)
M - 10(41n + a) = 41y
M = 41(y + 10n) + 10a
因 10a 不整除 41 ,
故 41 不整除 M。
綜上 41 | M 當且僅當 41 | N。
2)
令 x = 6219 , y = 7 , r = 4。
則 M = 10 * 6219 + 7 = 62197
N = 6219 - 4 * 7 = 6191令 x' = 619 , y = 1 ,
則 M' = 10 * 619 + 1
N' = 619 - 4*1 = 615 令 x'' = 61 , y = 5 ,
則 M'' = 10 * 61 + 1
N'' = 61 - 4*5 = 41 能整除 41 ,故 62197 能被 41 整除。

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