微積分極限是不是算出來 不是正確的答案?

不，它就是6沒錯，不是很接近6。

嗯，怎麼說呢，我們先拿另外一個經典題目出來，
我想會問這個問題，你應該也覺得「0.9循環不是1，是很接近1」對吧？
但是0.9循環它確實就是1沒錯，或者說「0.9循環是1的另一種表現方法」。

我們先不要管那些證明，證明隨便google一下就有了，但那些證明很難說服你，
頂多就是你看過之後，覺得"喔，我會證明，可是我還是覺得0.9循環跟1差一點點.."

數學上就是有些"跟直覺不合的東西存在"，但它們常常是數學的真理

其實啊，在數學上，十進位裡面同一個數的表現形式不只一種，
我們有時候在研究實數論的時候，常把一個數表現成一個無窮級數和。
"0.9循環" 只是 "1"的另一種表現形式而已，任何一個實數都可以表示成一個無窮級數的和，但這個級數"感覺上"只是越來越靠近他而已。

因此，我們說limx->2 (3x)是6的另一種表現形式。
所以它就是6。

你正在修微積分嗎？如果是大學的話，
我想你可以找找你的微積分老師，或是學校數學系的教授，
他們可能可以給你更好的解釋，如果是高中的話…

我只能跟你說不要想太多，你可以等到大學，修完一年微積分之後，
去旁聽看看數學系的高等微積分。

2012-11-05 02:26:09 補充：
打完之後google了一下，發現wiki竟然把0.9循環都列到條目裡了..

其中「教育中遇到的懷疑」這一節你可以看一下，跟你的問題其實是一樣的。

http://zh.wikipedia.org/wiki/0.999...#.E6.95.99.E8.82.B2.E4.B8.AD.E9.81.87.E5.88.B0.E7.9A.84.E6.80.80.E7.96.91

2012-11-05 02:35:59 補充：
啊忘記回答你第二個問題了 XD

「為什麼微積分很嚴謹」這就是個大哉問了，

數學本身的嚴謹，在於整個系統的完備性，

沒有任何例外，所有定理構造出了一個微積分的基本架構，

沒有任何矛盾，多方定理常常互相搭配，甚至可以衍伸出新的理論結構。

沒有任何猜測，數學上有許多"猜想，但它們只是"還沒有能力利用任何數學方法去證實或推翻"而已。

因此我們說數學是一門很嚴謹的學科，你做的每一個動作，背後都有理論去支持你。

2012-11-05 11:26:18 補充：
epsilon-delta這個定義方式直到真正理解它在講什麼，腦內可以用動畫補完之前，
都還是會覺得它是個看都看不懂的鬼東西 :P

是說寫這題答案的時候，想到以前修數學史的時候老師問過同一個問題，
"0.9循環 = 1" 還是 "0.9循環無限接近1，但不是1"？
當然，幾乎全部的人都選了前者，老師又問了另一個問題

"你完全相信這件事情" 還是 "你知道這件事是對的，但感覺就是怪怪的"
大概就有三成的人選了後者 XD

所以發問者不用擔心，連數學系的大四生都有三成左右在懷疑這個問題了 XDDD

2012-11-05 11:31:21 補充：
嚴謹不嚴謹嘛…要說的話，正常人解題背後都還是會有理論支持，

只是解題的人本身懂不懂這個理論而已。


就拿原文這題好了，有的人會直接用2代入3x得到6，

但背後還是有"因為f(x)是連續函數，所以lim_x->c f(x) = f(c)"這個定理

跟國中生死背公式好像也是一樣的道理XD

簡單的說，當x趨近於2時
f(x)趨近於6而不等於6
但lim f(x)就剛好等於6

f(x)與lim f(x)是不一樣的，
硬要把它們當成相同東西，然後問它到底趨近還是等於，這永遠不會有答案的，
因為他們明明就不相同。

設 f(x)=3x for all x.

當 x 逼近 2 時, f(x) 趨近 6.

當 x 逼近 2 時, f(x) 的極限是 6.

說 "極限" 那已是一個定值, 所以不能說 "極限逼近..." 之類的話.

但也不能說 "x 逼近 2 時 f(x)=6", 因為 "x 逼近 2" 是一個過程,
在這過程中 f(x) 是隨著 x 在變動的, 它不是一個定值.

2012-11-05 11:26:15 補充：
說微積分很嚴謹?

微積分是一門數學, 沒有所謂嚴謹不嚴謹.

嚴謹與否是你如何去處理(解決)問題.

在初級課程, 除了在數學系以外, 常採用不很嚴謹的處理方式.

當然, 無論哪一門數學, 相對於非數學而言, 特別是對於非科
學而言, 在解決問題時通常是比較嚴謹的.

以 f(x) = 3x 這個函數來說
如果是f(2) = 6，這是直接代點x=2，得到f(x) = 6
如果是lim(x->2) f(x) = 6
這是以x=2「附近的點」(不含x=2本身)來「觀察並預測」x=2這點的情況

limit不管x=2的時候是什麼...那和limit沒有關係
實際上當然可能附近沒有一點代入剛好是6的情況...不過這也和limit沒有關係
limit是：用到旁邊的點(不是x=2)，可是要求的是x=2的值(不是旁邊那些點的的值)
而limit出來的答案就是6，不會是模模糊糊什麼。

這不會和直覺不合啊。limit的概念本來就這樣OA O

2012-11-05 10:37:27 補充：
也因為極限這樣的概念，才會有以下的議題：
極限存在：從左邊觀察和從右邊觀察的預測結果是一致的
連續：limit觀察出來的結果，和實際該點的值相同

在計算lim(x->2) f(x) 的時候，如果是把x=2代入，算出6的話
其實是因為f(x) = 3x已知是連續函數
用了連續的性質，才能以該點的值取代極限的值OA O
(不然用正式定義去算極限值，還頗麻煩的呢)


不要太擔心limit嚴不嚴謹
limit的epsilon-delta定義，是個神奇的觀察法則
會讓你覺得原來limit是這麼科學的東西(X

至於微積分本身嚴不嚴謹，回答大說得很清楚了OA O