關於數學歸立法的疑問

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2012-11-01 17:13:07 補充：
***數學歸納法

我以下用英文作答，中文解釋：所有中文解釋請看清楚，因為有不少人都會搞錯，有唔明的可pm我~~
1a) 利用數學歸立法證明以下有限數列之和，對於所有正整數n都成立:1+2+4+...+2^(n-1) = 2^n -1
Let P(n) be the reqired proposition "1+2+4+...+2^(n-1) = 2^n -1 " (這裡不要包含"對於所有正整數n都成立")
when n=1,
LHS = 1
RHS = 2^1 -1 =1
LHS=RHS
P(1) is true
Assume P(k) is true for ANY positive integer k (這裡用ANY，非some，雖然考評局是寫some，但其寫法並不正確)
i.e. 1+2+4+...+2^(k-1) = 2^k -1
when n=k+1,
LHS
= 1+2+4+...+2^(k-1) +2^k
= 2^k -1 + 2^k
= 2*2^k -1
= 2^(k+1) -1
=RHS
P(k+1) is also true (這裡應有also，"亦")
By the principle of Mathematical Induction, P(n) is true for all positive integers n. (這裡才寫 "對於所有正整數n都成立")

1b) 承(a) 部，從而求1+2+4+...+2048的值。
1+2+4+...+2048 = 1+2+4+...+2^11 = 2^12 -1 = 2048*2 -1 = 5096 - 1 = 5095

這條中文答~
2. 利用數學歸立法證明以下命題，對於所有正整數n都成立：a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)可被a^2+a+1整除。
設 P(n)為命題：a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)可被a^2+a+1整除
當n=1
a^2 +(a+1)^1 = a^2 +a +1, 可被a^2+a+1整除
P(1)成立
假設P(k)成立對於任一正整數k
即a^(k+1)+(a+1)^(2k-1) = (a^2 + a +1)M, M為一整數
當n=k+1
a^(k+1+1)+(a+1)^(2(k+1)-1)
= a^(k+2) + (a+1)^(2k+1)
= a * a^(k+1)+ (a+1)^2 * (a+1)^(2k-1)
= a * [(a^2 + a +1)M - (a+1)^(2k-1)] + (a^2 +2a +1) * (a+1)^(2k-1)
= (a^2 + a +1) * aM - a(a +1)^(2k-1) + (a^2 +2a +1) * (a+1)^(2k-1)
= (a^2 + a +1) * aM + (a +1)^(2k-1) [ -a + (a^2 +2a +1)]
= (a^2 + a +1) * aM + (a +1)^(2k-1) (a^2 + a +1)
= (a^2 + a +1) * [ aM + (a +1)^(2k-1)] , 可被a^2+a+1整除
P(k+1)亦成立
由數學歸立法，P(n) 對於所有正整數n都成立。

樓上第2題 當n=k+1有少許問題~~

2012-11-02 01:12:44 補充：
"數學歸納法"@@