數列與級數

在2與12間插入兩正數a、b使2、a、b成GP，a、b、12成AP，求a、b=?
Sol
2、a、b成GP
a^2=2b
a、b、12成AP
2b=a+12
a^2=a+12
a^2－a－12=0
(a－4)(a+3)=0
a=4or a=－3(不合)
b=8

在2與12間插入兩正數a、b使2、a、b成GP，a、b、12成AP，求a、b=?

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC05194366/o/20121031132039.jpg

a, b, 12為等差數列，可以知道等差中項b = (a + 12)/2 = a/2 + 6

2, a, b為等比數列，設公比為q，a = 2q, b = 2q^2

但是從第一行我們知道b = a/2 + 6 = 2q/2 + 6 = q + 6
所以2q^2 = q + 6，移項得2q^2 - q - 6 = 0

十字交乘
1　　-2
　Ｘ
2　　3

因此(q - 2)(2q + 3) = 0，q = 2 or -3/2 (負不合，因為插入的數為正數)

因此可知公比q為2，a = 2x2 = 4，b = 2x2x2 = 8

整串為2, 4, 8, 12，其中2, 4, 8為等比數列，4, 8, 12為等差數列。