有關三角形的面積與周長度量的問題

看看這樣行不行...
令三角形邊長分別為 a,b,c∈N (a <= b <= c)，若面積與周長的度量相等，則依海龍公式不難得知:(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)= 16(a+b+c)...(1)
考慮 (-a+b+c)，(a-b+c)，(a+b-c) 這三個正整數，由於任兩者之和為偶數，故其
奇偶性皆同，又其積為偶數，所以三者皆偶數。
現令 -a+b+c= 2x，a-b+c= 2y，a+b-c= 2z
則 x,y,z∈N, 且 x >= y >= z (由於 a <= b <= c)
(1)式可以化為
(2x)(2y)(2z)= 16(2x+2y+2z)
即
xyz= 4(x+y+z)...(2) (x,y,z∈N, x >= y >= z)
因 4x < 4(x+y+z) [右式] <= 4(x+x+x) = 12x
故 4x < xyz [左式] <= 12x
得 4 < yz <= 12
以下就 y,z 之有限組合討論，只要得到一組符合條件的正整數 x,y,z, 就對應一組合題意的邊長 a,b,c
為計算方便，(2)式化為
x = 4(y+z)/(yz-4) (x >= y >= z, 4 < yz <= 12, x,y,z∈N)
開始討論:
yz=5, (x,y,z)= (24,5,1), (a,b,c)= (6,25,29) (a=y+z, b=x+z, c=x+y)
yz=6, (x,y,z)= (14,6,1), (a,b,c)= (7,15,20)
yz=6, (x,y,z)= (10,3,2), (a,b,c)= (5,12,13) (直角三角形)
yz=7, 不合
yz=8, (x,y,z)= (9,8,1), (a,b,c)= (9,10,17)
yz=8, (x,y,z)= (6,4,2), (a,b,c)= (6,8,10) (直角三角形)
yz=9,10,11,12: 或者不合，或者重複

綜上，任意三角形有 5 個: (6,8,10), (5,12,13), (9,10,17), (7,15,20), (6,25,29)

其中，直角三角形有 2 個: (6,8,10), (5,12,13)

我是有找出來幾個
但是算法很醜

2012-10-30 18:46:25 補充：
另外直角三角形的確是只有這兩個
謝謝月下大大回應
也請幫忙想另一個問題

2012-10-30 19:48:52 補充：
我也是從海龍公式去想
只是我假設a為最大邊 b+c>a
a,b,c皆為整數--> 令b+c=a+1
依序求不定方程解

直覺覺得是有限組，可以硬幹出來的樣子...OA O
(雖然是鬼畫符一堆，想半天之後之後才來的直覺

2012-10-30 18:27:50 補充：
啊想錯了，沒事...XD

2012-10-31 10:30:36 補充：
我想得太複雜了，果然還是海龍公式，強XD

直角：(5,12,13) (6,8,10) 兩組
a+b+c=ab/2 [c^2=a^2+b^2]

2012-10-30 19:13:44 補充：
另外一題，還沒有頭緒。
本來以為用 海龍公式，
但 算到某個地方 有點卡住，(實驗結果，可能方向不對)
要再想想，歹勢

能請教 rex 大大 您的算法是什麼 ？

2012-10-31 09:27:12 補充：
cefpirome 大 解得很好
尤其先討論奇偶，(這樣比較省事)

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