Factorization (part II)

這類題可賞試加消次方等差項 , 這裡11 , 7 , 3 成等差 , 加消 x³ :
x¹¹ + x⁷ - 1
= x¹¹ + x⁷ + x³ - (x³ + 1)
= x³ (x⁸ + x⁴+ 1) - (x + 1) (x² - x + 1)
= x³ (x⁸ + 2x⁴+ 1 - x⁴) - (x + 1) (x² - x + 1)
= x³ ( (x⁴+ 1)² - x⁴) - (x + 1) (x² - x + 1)
= x³ (x⁴- x² + 1) (x⁴+ x² + 1) - (x + 1) (x² - x + 1)
= x³ (x⁴- x² + 1) (x⁴+ 2x² + 1 - x²) - (x + 1) (x² - x + 1)
= x³ (x⁴- x² + 1) ( (x² + 1)² - x² ) - (x + 1) (x² - x + 1)
= x³ (x⁴- x² + 1) (x² - x + 1) (x² + x + 1) - (x + 1) (x² - x + 1)
= (x² - x + 1) ( x³ (x⁴- x² + 1) (x² + x + 1) - (x + 1) )
= (x² - x + 1) ( x³ (x⁶ + x⁵ + x⁴- x⁴- x³ - x² + x² + x + 1) - (x + 1) )
= (x² - x + 1) ( x³ (x⁶ + x⁵ - x³ + x + 1) - (x + 1) )
= (x² - x + 1) (x⁹ + x⁸ - x⁶ + x⁴+ x³ - x - 1)
別解 :
x¹¹ + x⁷ - 1
= (x¹¹ - x¹º + x⁹) + (x¹º - x⁹ + x⁸) - (x⁸ - x⁷ + x⁶) + (x⁶ - x⁵ + x⁴)
+ (x⁵ - x⁴+ x³) - (x³ - x² + x) - (x² - x + 1)
= x⁹(x² - x + 1) + x⁸(x² - x + 1) - x⁶(x² - x + 1) + x⁴(x² - x + 1)
+ x³ (x² - x + 1) - x (x² - x + 1) - 1 (x² - x + 1)
= (x² - x + 1) (x⁹ + x⁸ - x⁶ + x⁴+ x³ - x - 1)


2012-10-28 11:16:13 補充：
大於四次的方程沒有求根公式,很難判斷(x⁹ + x⁸ - x⁶ + x⁴+ x³ - x - 1)能否分解 。或者可用待定系數法試試~

2012-10-29 20:37:05 補充：
用complex number 可以啊~
用WolframAlpha 找到了 x⁹ + x⁸ - x⁶ + x⁴+ x³ - x - 1 = 0 的1個 real root
= 0.924617

還有8個 complex roots :
- 0.894 ± 0.33448i
- 0.74554 ± 0.81006i
-0.16717 ± 0.91644i
0.84441 ± 0.64463i

2012-10-29 20:37:15 補充：
如果 x⁹ + x⁸ - x⁶ + x⁴+ x³ - x - 1 能分解,它的因子常數項是±1 ,
找2次因子的話,只須試驗以上4組共軛complex roots 之積是否±1 ,
結果都不是 , 所以無2次因子。

再試3次因子 , 把以上4組共軛complex roots 之積再乘 0.924617 ,
結果都不是±1 , 所以無3次因子。

最後檢驗任何2組共軛complex roots之積的積 ,
結果都不是±1 , 所以無4次因子。

於是知道 x⁹ + x⁸ - x⁶ + x⁴+ x³ - x - 1 不能再分解了。

2012-10-30 19:50:27 補充：
啊~原來這才是complex number 嘅方法,夠精簡~

2012-10-31 13:19:29 補充：
謝謝版大******

(x^4 + x^3 - 1)(x^5 - x + 1) is already a complete factorization over real number.

2012-11-01 20:19:05 補充：
Factorization is very interesting.
e.g. Factorize x⁴ + 4.

多謝三位的見解, 令我獲益良多.
好彩 點瞧 ( 實習生 3 級 ) 沒有寫在 "回答" 裡, 否則我都不知選那個.
☂雨後陽光☀ ( 知識長), 我是選定你的. (其實我是比較喜歡第二個, 夠精簡.)
"亂槍打鳥" 這句我不大認同. 君不見個個亂槍打鳥都能打倒!
換句話說, 精簡的,有效的方法都是亂槍打鳥的.
人家的經驗不可能是亂槍打鳥得來的.

2012-10-31 19:16:20 補充：
x^9 + x^8 - 2x^5 + x^3 + x - 1
= (x^4 + x^3 - 1)(x^5 - x + 1)

我只是 factorize 得那麼多。

2012-10-31 20:03:19 補充：
算了吧，我的能力就只得那麼多，這題是超出我的極限，我投降了。

果然是真正的知識長, 我有另一個想法 :
若 w^3 = -1, 則 (w + 1)(w^2 - w + 1) = 0
因這 equation 有三根, 若 w 不是 -1, 則 w^2 - w + 1 = 0
設 f(x) = x^11 + x^7 - 1, 則
f(w) = w^11 + w^7 - 1
= (-1)^3 * w^2 + (-1)^2 * w - 1
= -w^2 + w - 1
= 0
所以 f(x) 有因子 (x^2 - x + 1).

2012-10-30 11:27:33 補充：
至於 x^9 + x^8 - x^6 + x^4 + x^3 - x - 1 能否再分解, 我就沒有這的能力了.
不過我就同意 知識長 的見解.

容易證明(x² - x + 1)在整數中無法再分解。

不知道有誰能夠說明(或證明):
(x⁹ + x⁸ - x⁶ + x⁴+ x³ - x - 1)
在整數中無法再分解 ?

2012-10-30 22:33:53 補充：
如果不考慮計算量，Kronecker's method是有效的辦法。
請參考:WIKI
http://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials
之 Kronecker's method部分。

至於使用複數根的辦法:
點瞧 ( 實習生 3 級 )的作法，基本上是亂槍打鳥，
其試驗空間並非有限個數，故理論上，並不可行。
☂雨後陽光☀ ( 知識長)之作法，因受限於根是近似值，
無法作為整數之討論，故亦不可行。

2012-10-30 22:39:57 補充：
用Kronecker's method求
x^11 + x^7 - 1之二次因式，須測試8個二次多項式，
我有實際計算，在第二個情況，就剛好解出
x^2 - x + 1 這個因式。