自然數平方和的證明與應用

圖片參考：http://i1096.photobucket.com/albums/g340/pingshek/2012-10-25-4.png?t=1351181010


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證法一:

利用數學歸納法

1. 當 n = 1 時, 1^2 = 1, 1 * (1+1) * (2 * 1 + 1) / 6 = 1 成立

2. 假設 n = m 時, 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + m^2 = m(m+1)(2m+1)/6 成立

3. 則 n = m+1 時, 應該就是 m(m+1)(2m+1)/6 + (m+1)^2 (也就是 2式 + (m+1)^2), 展開後得: (2m^3+9m^2+13m+6)/6

4. 利用 n=m+1 的公式解得 (m+1)((m+1)+1)(2*(m+1)+1)/6

展開得: (m+1)(m+2)(2m+3)/6 = (2m^3+9m^2+13m+6)/6 和 3. 式結果相同

5. 故得證.


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證法二:

請參考這個

http://www.mathland.idv.tw/fun/sqrsum.htm