高中數學~多項式函數之運算

f(x)=8x^3+4x^2-16x+5=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d
那你就把方程式給乘開，比較係數就可以了!

a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d
=(ax^3-3ax^2+3ax-a)+(bx^2-2bx+b)+(cx+c)+d
=ax^3+(b-3a)x^2+(3a-2b+c)x-a+b+c+d

所以a=8
b-3a=4，所以b=4+3a=4+24=28
3a-2b+c=-16，所以24-56+c=-16，c=16
a+b+c+d=5，所以8+28+16+d=5，d=-47

算到這裡，可以知道(1)a=8是正確的了!

接著f(x)=8(x-1)^3+28(x-1)^2+16(x-1)-47
所以f(x)除以(x-1)的餘式就是-47

f(x)除以(x-2)^2，可以使用綜合除法，(x-2)^2=x^2-4x+4
所以:
8 4 -16 5 |
-32 -144 | -4
32 144 | 4
________________|
8 36 96 -139

所以餘式96x-139

f(0.999)=8(0.999-1)^3+28(0.999-1)^2+16(0.999-1)-47
=0.000000008+0.000028+0.016-47
=-46.983971992，
所以小數點以下的近似值取到第三位為-46.984

看起來答案(1)(5)應該都是正確的吧~~

2012-10-24 14:47:16 補充：
綜合除法的格式比較醜一點，
不過這裡沒法打空格，請多見諒，
不習慣二階綜合除法可以直接用長除法。

(1)a=8正確
(這很明顯吧?三次方項只有8)
(2)b=4錯誤,應為28
(3)f(x)除以(x-1)的餘式為8錯誤,應為1
綜合除法:
８＋４－16＋５｜１
　＋８＋12－４｜
－－－－－－－－
８＋12－４|＋１＝ｄ
　＋８＋20|
－－－－－
８＋20|+16＝ｃ
　＋８|
－－－
８|+28
∥　∥
ａ　ｂ
原理:將f(x)之商除三次
(4)f(x)除以(x-2)^2的餘式為16x-15錯誤,應為......
選擇題快速技巧:直接代2進去
則f(2)=64+16-32+5=53不等於32-15=17

但如果算出來真的相等了
並不代表這個選項是對的
請用除法真的除一遍檢驗看看
(5)f(0.999)取近似值到小數點以下第三位為0.984正確
我們由綜合除法結果得知:
f(x)=8(x-1)^3+28(x-1)^2+16(x-1)+1
則f(0.999)=8(-0.001)^3+28(-0.001)^2+16(-0.001)+1
我們要求第三位所以8(-0.001)^3+28(-0.001)^2直接幹掉不看
近似值就是1-0.16=0.984

希望能幫助到你~^^

2012-11-03 00:47:16 補充：
答案:(1)(5)

2012-11-03 00:55:32 補充：
綜合除法:
８＋４－16＋５｜１
　＋８＋12－４｜
－－－－－－－－
８＋12－４|＋１＝ｄ
　＋８＋20|
－－－－－
８＋20|+16＝ｃ
　＋８|
－－－
８|+28
∥　∥
ａ　ｂ
如果你看不慣這個
那試試下面的橫式
直接用除法最根本的原理去表示
f(x)=8x^3+4x^2-16x+5
=(8x^2+12x+4)(x-1)+1
=[(8x+20)(x-1)+16](x-1)+1
={[8(x-1)+28](x-1)+16}(x-1)+1
慢慢剝開括號就是
8(x-1)^3+28(x-1)^2+16(x-1)+1囉~

2012-11-03 01:00:17 補充：
為了表示下標只好將就一下...

以a (x-k)^n+a (x-k)^n-1+...+a (x-k)+a
n n-1 1 0
這種形式呈現的方式
我們叫它泰勒展開式
用途就是來求函數值用的
就像選項(5)那樣

設f(x)=8x^3+4x^2－16x+5=a(x－1)^3+b(x－1)^2+c(x－1)+d
則下列5個選項哪個選項是正確的?
(1)a=8
(2)b=4
(3)f(x)除以(x－1)的餘式為8
(4)f(x)除以(x－2)^2的餘式為16x－15
(5)f(0.999)取近似值到小數點以下第三位為0.984
Sol
８　　　　４　－１６　　５｜
　　　　　８　　１２　－４｜１
──────────────
８　　　１２　　－４｜　１………….d
　　８ 　２０｜１
───────────
８　　　２０｜　１６----------------------c
　　　８｜１
───────
８　　｜２８……………………………b
a=8，b=28，c=16，d=1
f(1)=d=1
　　　　　　　　　２ｘ＋１２
　　　　　　　───────────────
ｘ２－４ｘ＋４）８ｘ３＋４ｘ２－１６ｘ＋　５
　　　　　　　）８ｘ３－８ｘ２＋　８ｘ
　　　　　　　）──────────────
　　　　　　　）　　　１２ｘ２－２４ｘ＋　５
　　　　　　　）　　　１２ｘ２－４８ｘ＋４８
　　　　　　　）──────────────
　　　　　　　）　　　　　　　　２４ｘ－４３
f(0.999)=8(－0.001)^3+28(－0.001)^2+16(－0.001)+1=0.984
(1)(5)




2012-10-24 17:09:34 補充：
　　　　　　　８ｘ＋３６
　　　　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ｘ２－４ｘ＋４）８ｘ３＋　４ｘ２－　１６ｘ＋　　５
　　　　　　　）８ｘ３－３２ｘ２＋　３２ｘ
　　　　　　　）－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　）　　　　３６ｘ２－　４８ｘ＋　　５
　　　　　　　）　　　　３６ｘ２－１４４ｘ＋１４４
　　　　　　　）－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　）　　　　　　　　　　９６ｘ－１３９