對數函數的一個問題

若log10[ log3(log1/2 x) ] 有意義, 是指在實數系有意義...

則 log_3(log_{1/2}(x)) > 0.

所以 log_{1/2}(x) > 1.

所以 x>0 (使 log 有意義) 且 x<1/2 (使 log_{1/2}(x) > 1).

即: 0<x<1/2.


Note: log_a(x) > 1 當 a>1 時條件是 x>a; 當 a<1 時條件是 x<a.
　　　因為當 a<1 時, 若 y=log_a(x)>1, 相當於 x=a^y<a^1=a.
　　　當 a>1 時, 則如大家所熟悉的, y>1 則 a^y>a^1=a.


2012-10-23 21:31:21 補充：
log_3(log_{1/2}(x)) > 0, 3>1, 所以 log_{1/2}(x)>1.

當 a>1 時, x>1 則 log_a(x)>0: 0<1 則 log_a(x)<0.
例如 log_3(1/3) = -1, log_3(3) = 1.

當 a<1 時, x>1 則 log_a(x)<0; 0<1 則 log_a(x)>0.
例如 log_{1/2}(1/2) = 1, log_{1/2}(2)=-1.

2012-10-23 21:35:22 補充：
碰到大於、小於的符號系統就亂了, 有些東西被系統吃掉了.


反正, 底 a 比 1 大時, log_a(x) 是由 -∞ 上升至 0 (x=1). 再上升至 +∞;
而底 a 比 1 小時, 則 log_a(x) 是由 -∞ 上升至 +∞, 中間在 x=1 時
對數值為 0.

謝謝

Dio大大!

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Plot[Log[10, Log[3, Log[1/2, x]]], {x, 0, 1}]

按等號後便可以看到圖形，並且請選擇圖形的方框裡右上角的選單－
Real-valued plot，請勿選取到另一個。

因為真數本身要大於0，
所以說由(log1/2 x) 來看，得到x>0----------條件(1)
接下來(log1/2 x) 是log(底數3)的真數，
所以(log1/2 x)>0，也就是0<x<1-------------條件(2)
再由log3(log1/2 x)整個是log(底數10)的真數，
得到log3(log1/2 x)>0，
所以0<log(底數1/2)x<1
所以1>x>(1/2)------------------------------------條件(3)

三個條件取交集，所以(1/2)<x<1就是最終答案。