中5微分應用

a)
C : x³ + y³ - 3xy + 1 = 0

(d/dx)( x³ + y³ - 3xy + 1) = 0
3x² + 3y²(dy/dx) - 3x(dy/dx) - 3y =0
x² + y²(dy/dx) - x(dy/dx) - y = 0
(y² - x)(dy/dx) = y - x²
dy/dx = (y - x²)/(y² - x)


b)
設切點的坐標為 (a, b)。

切線的斜率：
b - a² = 0
b = a² ...... [1]

(a, b)在 C 上：
a³ + b³ - 3ab + 1 = 0 ...... [2]

把 [1] 代入 [2] 中：
a³ + (a²)³ -3a(a²) + 1 = 0
(a³)² - 2a³ + 1 = 0
(a³ - 1)² = 0
a³ - 1 = 0
(a - 1)(a² + a + 1) = 0
a = 1 或 a = (-1 ± √-3)/2 (不合、捨去)

把 a = 1 代入 [1] 中：
b = (1)²
b = 1

切點的坐標為 (1, 1)。

Hint:
x⁶ - 2x³ + 1 = 0
(x³ - 1)² = 0
...