sin 微分

請配合圖片
(http://photo.xuite.net/m24639297/5943511/1.jpg)

當角度θ趨近於0
sinθ會漸漸趨近於θ所對應的弧長S

所以
lim(θ→0) sinθ=S=r*θ (θ單位為弧度)

又因為此圖形建立在單位圓上 (r=1)

所以lim(θ→0) sinθ=S=r*θ=1*θ=θ

lim(θ→0) sinθ/θ=θ/θ=1

故得證

希望對你有幫助
如有錯誤請不吝指教
謝謝

請參考: youtube 影片說明
http://www.youtube.com/watch?v=Ve99biD1KtA

2012-10-19 11:37:05 補充：
請參考:
http://zhidao.baidu.com/question/35908389.html

2012-10-19 11:39:57 補充：
http://ocw.nthu.edu.tw/ocw/upload/7/news/L10_Pinching%20Theorems%28%E5%A4%BE%E6%93%A0%E5%AE%9A%E7%90%86%29%20Trigonometric%20functions%202.6%20Two%20Basic%20TheoremsIntermediate%20value%20theorem%28%E4%B8%AD%E9%96%93%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86%29%20Extreme%20value%20theorem%28%E6%A5%B5%E5%80%BC%E5%A

2012-10-19 11:44:03 補充：
http://www.youtube.com/watch?v=o6S6RbfhRTU

2012-10-19 11:45:11 補充：
http://www.youtube.com/watch?v=vz9_102nL8M

2012-10-19 11:47:37 補充：
只要你在 GOOGLE 上，搜尋 lim sin x/x
你就可以找到一堆你要的資料。

2012-10-19 11:55:34 補充：
比較有趣的是，下面的文章:
http://johnmayhk.wordpress.com/2010/02/27/circular-argument-on-sinx-over-x/

2012-10-20 02:41:22 補充：
是否能把 lim sin x/x=1當定義，值得商榷。
因為:
曲線求長之定義，與圓無關(可在於圓之定義之前)，若圓已定義(x^2+y^2=1)，
則圓弧長t=theta可以依曲線求長之定義求出。
圓已經定義，則可以定義sin t(=theta)。
既然t及sin t都可以計算(就是其值已確定)，當然lim sin t/t 可以計算，其值當然就不能任憑我們定義了。

2012-10-20 02:42:11 補充：
當然要定義也可以，但前面的某一個定義必須去掉，成為定理才可以。
其實，扇形面積可以不必用sin，cos 之導微求出，可以直接由圓之方程式x^2+y^2=1用積分之變換和圓之對稱性求出。並不會有循環論證之問題存在。

2012-10-20 02:49:18 補充：
割圓術" 的基礎在於積分，不在於微分。因為，根據數學史，
阿基米德知道積分但不知道微分。

我有個疑問
Limit(x->0)sin(x)=x

為什麼是L=X???

Limit(x->0)sin(x)=sin(0)=0

想成圖型 sin函數在x接近0的地方也是0

lim sin(h)/h = 1 不是 0.
h→0


在初級微積分教本中, 三角函數 sin(x) 等大多沿用高中數學定義,
而在此定義之下, 要求得 sin(x) 的導數, 需要用到上列極限結果.
另一方面, 用羅必達方法計算涉及三角函數之極限, 需要三角函數
之微分公式. 因此, 若用羅必達方法證明上述極限, 成為一個循環
論證的例子 (用上述極限證明 sin(x) 的微分公式, 再用 sin(x) 微
分公式證明上述極限.) 所以, 不能用羅必達方法.

2012-10-18 11:10:24 補充：
在高級微積分 (advanced calculus) 教程, sin(x) 等三角函數通常
以其他方法定義 (例如用積分定義 arc sin, 再由 arc sin 定義
sin; 或以微分方程 y"+y=0 定義 sin(x) 及 cos(x).) 在這些定義
之下, 不需利用 lim_{h→0} sin(h)/h = 1 來推導 sin(x) 的導數.
然而, lin_{h→0} sin(h)/h 其實只是 sin(x) 在 x=0 的導數; 而用
羅必達方法又要用到這個導數, 因而也不能用, 至少是不必用
羅必達.

2012-10-18 11:18:14 補充：
若你的問題不是 h→0 時 sin(h)/h 的極限, 而是 h→∞ 時的極限,
則:

(1) 不需用羅必達方法, 因 sin(h) 受限於 [-1,1], 而分母 h 趨於無
限大時, sin(h)/h 當然趨近於0. 嚴謹證明可利用夾擠定理, 或由
極限定理直接證明.

2012-10-18 11:19:17 補充：
(2) 用羅必達方法將導致失敗. 羅必達方法 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
的條件之一是 lim f'(x)/g'(x) 有定義, 即: 極限存在或得到極限值
+∞ 或 -∞. 而本例分子分母分別微分後得 cos(h)/1, 此函數在
h→∞ 時極限不存在, 也不趨於 +∞ 或 -∞, 因此羅必達定理不適用.

2012-10-18 18:42:48 補充：
那明顯是錯的, 無需討論.

應該說: sin(x)≒x 當 x→0, 更精確地說, sin(x)=x+o(x) 當 x→0.
但這不能用來當做證明 lim_{x→0} sin(x)/x = 1 的立論基礎,
因為前者已隱含了後者的結論, 而那正是有待證明的.

2012-10-19 18:12:11 補充：
初微中用三角形及扇形面積公式來證明 lim_{x→0} sin(x)/x = 1,
這不免仍有循環論證的問題, 因為扇形面積公式可能需用微積分
證明...

我沒有去深究如果不從幾何定義, 而是如前面提過的, 如高微中
的各種處理方式, 是否可建立一套完整的理論...我想應該沒問題
吧?


不過, 我倒是認為, 在初微中沿用高中數學對三角函數的幾何式
定義, 不妨把前述極限當 "公設". 事實上, sin(x)/x = (2 sin(x))/(2x),
是標準圓上弳度 2x 的扇形的弦長與弧長的比值. 而 "弳度" 其
實就是標準圓的弧長當做角的大小量度.

2012-10-19 18:12:34 補充：
把該極限當 "公設" 的意思, 就是該極限事實上是 "割圓術" 的基
礎. 也就是說: 要知道圓弧長, 就考慮把圓弧儘可能細分, 而後將
各小段以其弦長近似之, 再加總. 微積分中的曲線段長度定義也
完全是同樣想法; 而面積則是類似想法.

2012-10-20 11:03:05 補充：
樓上沒有看懂我說的.

把 "lim_{x→0} sin(x)/x = 1" 當成公設, 和面積是無關的,
而是
"圓弧做無窮細分, 每一小段用弦長近似, 再加總,
取極限結果是一樣的."

x 是單位圓上一段弧的弧長, 這是定義; sin(x) 是對應的
正弦值, 這也是定義. 而兩者之比, 當 x→0, 或取 x→0+
時的極限, 設為 1, 這是 "假設". 把這個 "假設" 當成事
實而不是前提, 是為公設.

2012-10-20 11:34:28 補充：
lim_{x→0} sin(x)/x = 1 可以成為 sin(x) 微分公式的依據, 並不
表示談這個極限就是在談微分.

割圓術確實是積分的觀念. 不管算弧長, 算面積, 算體積, 或算
一些物理上或其他科學上的量, 也都是積分. 定積分的觀念就
是
　細分 - 近似 - 加總 - 極限
而就圓來說, 若考慮弧長, "近似" 所取的就是 sin(x)≒x, 而此
項 "近似" 所以被允許, 正是 lim_{x→0} sin(x)/x = 1.

因為Limit(x->0)sin(x)=x
所以Limit(x->0)sin(x)/x=x/x=1
不必使用羅氏定理