lim sin(h)/h = 1 不是 0.
h→0
在初級微積分教本中, 三角函數 sin(x) 等大多沿用高中數學定義,
而在此定義之下, 要求得 sin(x) 的導數, 需要用到上列極限結果.
另一方面, 用羅必達方法計算涉及三角函數之極限, 需要三角函數
之微分公式. 因此, 若用羅必達方法證明上述極限, 成為一個循環
論證的例子 (用上述極限證明 sin(x) 的微分公式, 再用 sin(x) 微
分公式證明上述極限.) 所以, 不能用羅必達方法.
2012-10-18 11:10:24 補充:
在高級微積分 (advanced calculus) 教程, sin(x) 等三角函數通常
以其他方法定義 (例如用積分定義 arc sin, 再由 arc sin 定義
sin; 或以微分方程 y"+y=0 定義 sin(x) 及 cos(x).) 在這些定義
之下, 不需利用 lim_{h→0} sin(h)/h = 1 來推導 sin(x) 的導數.
然而, lin_{h→0} sin(h)/h 其實只是 sin(x) 在 x=0 的導數; 而用
羅必達方法又要用到這個導數, 因而也不能用, 至少是不必用
羅必達.
2012-10-18 11:18:14 補充:
若你的問題不是 h→0 時 sin(h)/h 的極限, 而是 h→∞ 時的極限,
則:
(1) 不需用羅必達方法, 因 sin(h) 受限於 [-1,1], 而分母 h 趨於無
限大時, sin(h)/h 當然趨近於0. 嚴謹證明可利用夾擠定理, 或由
極限定理直接證明.
2012-10-18 11:19:17 補充:
(2) 用羅必達方法將導致失敗. 羅必達方法 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
的條件之一是 lim f'(x)/g'(x) 有定義, 即: 極限存在或得到極限值
+∞ 或 -∞. 而本例分子分母分別微分後得 cos(h)/1, 此函數在
h→∞ 時極限不存在, 也不趨於 +∞ 或 -∞, 因此羅必達定理不適用.
2012-10-18 18:42:48 補充:
那明顯是錯的, 無需討論.
應該說: sin(x)≒x 當 x→0, 更精確地說, sin(x)=x+o(x) 當 x→0.
但這不能用來當做證明 lim_{x→0} sin(x)/x = 1 的立論基礎,
因為前者已隱含了後者的結論, 而那正是有待證明的.
2012-10-19 18:12:11 補充:
初微中用三角形及扇形面積公式來證明 lim_{x→0} sin(x)/x = 1,
這不免仍有循環論證的問題, 因為扇形面積公式可能需用微積分
證明...
我沒有去深究如果不從幾何定義, 而是如前面提過的, 如高微中
的各種處理方式, 是否可建立一套完整的理論...我想應該沒問題
吧?
不過, 我倒是認為, 在初微中沿用高中數學對三角函數的幾何式
定義, 不妨把前述極限當 "公設". 事實上, sin(x)/x = (2 sin(x))/(2x),
是標準圓上弳度 2x 的扇形的弦長與弧長的比值. 而 "弳度" 其
實就是標準圓的弧長當做角的大小量度.
2012-10-19 18:12:34 補充:
把該極限當 "公設" 的意思, 就是該極限事實上是 "割圓術" 的基
礎. 也就是說: 要知道圓弧長, 就考慮把圓弧儘可能細分, 而後將
各小段以其弦長近似之, 再加總. 微積分中的曲線段長度定義也
完全是同樣想法; 而面積則是類似想法.
2012-10-20 11:03:05 補充:
樓上沒有看懂我說的.
把 "lim_{x→0} sin(x)/x = 1" 當成公設, 和面積是無關的,
而是
"圓弧做無窮細分, 每一小段用弦長近似, 再加總,
取極限結果是一樣的."
x 是單位圓上一段弧的弧長, 這是定義; sin(x) 是對應的
正弦值, 這也是定義. 而兩者之比, 當 x→0, 或取 x→0+
時的極限, 設為 1, 這是 "假設". 把這個 "假設" 當成事
實而不是前提, 是為公設.
2012-10-20 11:34:28 補充:
lim_{x→0} sin(x)/x = 1 可以成為 sin(x) 微分公式的依據, 並不
表示談這個極限就是在談微分.
割圓術確實是積分的觀念. 不管算弧長, 算面積, 算體積, 或算
一些物理上或其他科學上的量, 也都是積分. 定積分的觀念就
是
細分 - 近似 - 加總 - 極限
而就圓來說, 若考慮弧長, "近似" 所取的就是 sin(x)≒x, 而此
項 "近似" 所以被允許, 正是 lim_{x→0} sin(x)/x = 1.