✔ 最佳答案
問題在於"解題邏輯"。
解題過程中用的原理:若 d | a, d | b, m,n 屬於整數 => d | (ma ± nb)反過來不一定成立; 所以，求出的解答只是"可能的答案"(即使只獲得一個答案)，還得驗證才行。
以原題來說，解題如下:m,n為自然數,m>1,m | 35n+28, m | 7n+3 , 求m=?由題意知 m | (35n+28)-5(7n+3)即 m | 13，又 m>1，故 m=13 (這是"答案的候選者"，仍需驗證)以下考慮 13 | 35n+28, 13 | 7n+3 (n為自然數)是否成立:無論是用 n=7 代入確認一組解，或用"二元一次不定方程式"的觀念確認必有自然數解[因(13,35)=1 或 (13,7)=1]都可驗證 m=13 合於所求，故為答案。
為了進一步了解，考慮以下題目:m,n為自然數,m>1,m | 14n+17, m | 7n+5 , 求m=?由題意知 m | (14n+17)-2(7n+5)即 m | 7，又 m>1，故 m=7 (這是"答案的候選者"，仍需驗證)以下考慮 7 | 14n+17, 7 | 7n+5 (n為自然數)是否成立:很明顯地，無論n為任何自然數，皆無法滿足其中一個，故本題"無解"。----------------------或許是基於考試養成的習慣，常常解出唯一的答案就認定"必然是解"(畢竟考題少見"無解")，而得出2個以上答案就會想"檢查是否皆為解";實則解題所用邏輯(是否為充要條件)及運算過程(是否為同義運算)才是"是否需驗證答案"的決定者。----------------------再回原題的疑問:m,n為自然數,m>1,m | 35n+28, m | 7n+3 , 求m=?若我把35n+28乘2, 7n+3乘10 去相減m | 2(35n+28)-10(7n+3)=> m | 26, 又m>1 所以 m 可能 = 2,13,26其實邏輯無誤，但是下一步把 "答案的候選者"(2,13,26)驗證時，只有 13 是成立的。(這樣解當然也行)由於(2,10)=2，所以選 2 與 10 當乘數時，m "可能"會多出 2 的所有因數，而若選擇兩互質的數為乘數時，則無此"干擾"。
2012-10-22 14:23:41 補充：
"能驗證一下26給我看嗎?"
考慮 26 | 35n+28, 26 | 7n+3 (n為自然數)是否能成立:
如果上面2個條件都成立，那麼 35n+28 與 7n+3 都是偶數 (因為26是偶數)，
則 (35n+28)+(7n+3)是偶數 (偶數加偶數是偶數)，
但 (35n+28)+(7n+3) = (42n+31) 是奇數 (偶數加奇數是奇數)，矛盾。
所以"26"不成立 (同理"2"亦不成立)。
至於"13"，依上述回答知，可成立。
2012-10-22 14:29:07 補充：
(承上)
為何知道從"奇偶性"探討?
本來題目說:
m | 35n+28, 且 m | 7n+3
現用 m | 2(35n+28)-10(7n+3) 求解m，
顯然，2 與 10 的所有公因數都可以作為"m"而滿足此式，卻不見得能滿足原題條件。 又，對滿足原題的m，2 與 10 的公因數都可與之相乘而"生出"另一個滿足此式的m。
2 與 10 是我們找來幫忙的，結果它們的所有公因數卻可能藉機跑來"湊熱鬧"(成為m或其一部分)。因此我們心裡有數，知道 2 與 10 的"非1正公因數"(=2)可能會是"多冒出來的"，所以就它(=2)是否應在答案中來探討(即考慮奇偶性)。當然，這不是唯一方法。
2012-10-22 14:30:44 補充：
(承上)
如果當初我們找來幫忙的數是互質的(例如 1 與 5 )，就避免了這個"干擾"。(但不表示求出的答案皆合所求)
2012-10-22 15:34:27 補充：
關於 "(13,35)=1 或 (13,7)=1 都可驗證 m=13 合於所求，故為答案":
以下考慮 13 | 35n+28, 13 | 7n+3 (n為自然數)是否成立。
由於 13 | (35n+28)-5(7n+3)
配合上式，顯然， 13 | 35n+28 與 13 | 7n+3 滿足其一必滿足另一
[因為(13,1)=1，(13,5)=1，這裡(a,b)表示 a 與 b 的最大公因數]
所以只要考慮:
13 | 7n+3 (n為自然數)是否成立，
亦即是否有自然數 n，使 7n+3=13k (k是整數)，即 13k-7n=3。
2012-10-22 15:35:27 補充：
(承上)
背景知識:
對於整數 a,b,c (a,b不皆為0)，ax + by = c 有整數解 x,y 的充要條件是 (a,b) | c
這裡(a,b)表示 a 與 b 的最大公因數。 (可參考wikipedia)
所以 13k-7n=3 有 k,n 的整數解 [因(13,-7)=1，1 | 3]，且依此必有 n 的自然數解。
亦即有自然數 n，使 7n+3=13k (k是整數)，即滿足 13 | 7n+3
所以說，不必求出 n 值，憑(13,7)=1 [或 (13,35)=1]，即知存在自然數 n，使
13 | 35n+28 及 13 | 7n+3 成立。
2012-10-22 15:40:50 補充：
(承上)
參考:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B
