✔ 最佳答案
方法一 : 16 的因子有 ±1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 , ± 16 ,
代入 x 逐一試驗得 - (4)³ + 3(4)² + 16 = 0 ,
由因式定理知 (x - 4) 為一因式 , 用長除法得
................. - 1 - 1... - 4
.........───────────
1 - 4 ) - 1 + 3 + 0 + 16
...........- 1 + 4
──────────
.................- 1 + 0
.................- 1 + 4
──────────────
.......................- 4 + 16
.......................- 4 + 16
──────────────
∴ - x³ + 3x² + 16 = (x - 4) ( - x² - x - 4 )
由 △ = (-1)² - 4(-1)(-4) = - 15 < 0 知 - x² - x - 4 不能在實數範圍再分解。
方法二 : - x³ + 3x² + 16
= - x³ + 4x² - x² + 16
= - x²(x - 4) - (x² - 4²)
= - x²(x - 4) - (x + 4)(x - 4)
= (x - 4) ( - x² - (x + 4) )
= (x - 4) ( - x² - x - 4 )
方法三 : 設 - x³ + 3x² + 16
= (x + a) (- x² + bx + c)
= - x³ - ax² + bx² + abx + cx + ca
= - x³ + (b - a)x² + (ab + c)x + ca
比較係數 :
b - a = 3 ....(1)
ab + c = 0 . (2)
ca = 16 ..... (3)
由(1) , b = a + 3 , 代入(2) :
a(a + 3) + c = 0
a² + 3a + c = 0
因 a 為整數 , 故 △ = 9 - 4c 必為平方數 ,
再由(3) , c 能整除16 , 故c = 2 (不合) 或 c = - 4
從而 a = - 4 , b = - 1
∴ - x³ + 3x² + 16
= (x + a) (- x² + bx + c)
= (x - 4) (- x² - x - 4)
