機率問題-湊足100張鈔票號碼

實務上同一面額鈔票號碼應是不同的. 但3000萬張6位數是
不夠的, 也就是說鈔票編號不只6碼 (實際上新台幣前後總
共還有4位英文碼).
如果6位編碼都是數字的, 前2碼當然是 00-99. 因此條件其
實只是:

(1) 後3碼相同, 即 000, 111,...,999 共10種.

(2) 6位編碼中至少出現一個 "3".



6位數字編碼共100萬個數字碼. 後3碼數字相同者每1000個
有10個, 100萬個號碼中共有1萬個. 其實這一萬個編碼後3
位可以視同一位, 因此等於從 0000 至 9999 中去考慮. 這其
中不出現 "3" 的有 9^4 = 6561 個編碼, 因此有 3439 個號碼其中
至少一位是3 的.
也就是說, 100萬個號碼中, 符合條件的有 3439 個.


如果不考慮實務層面, 而假設編號是任意而隨機的. 也就是說
拿掉實務上 "編號唯一" 的限制. 則平均每100萬張鈔票中有
3439張符合條件. 因此可以說這是成功機率 3439/1000000
的實驗. 要找到100張符合條件的鈔票, 平均需找
100* 10^6/3439 ≒ 29078 (張)


實際要找多少張, 這是成功機率 3439/10^6, 成功數 100 的
負二項分布機率問題.


由於成功機率太低, 可以考慮用 Poisson 近似二項分布, 而
負二項分布則對應到 gamma 分布. 以 1000 張為一單位,
平均成功數 3.439, 100次成功所需時間為 gamma(100,3.439)
的 gamma 分布. 此分布之期望值 100/3.439 = 29.078, 變異
數 100/3.439^2 = 8.46, 標準差約 2.9.

P[T≧50] ≦ 8.46/(50-29.078)^2 < 0.02

要找5萬張以上的鈔票才能找到100張符合條件的, 其機率在 2%
以下; 結果找超過 50萬張才找到, 可能原因是:

(1) 以上思考完全錯誤;
(2) 實際上鈔票不是隨機編碼, 而是如開始所說的, 每一張鈔票
的編碼是 "唯一" 的.
(3) 鈔票數量是3000萬張而不是計算機率時假設的---無限量.
(不過, 這幾乎不可能是問題所在. 因為考慮的不是所有鈔
票中有幾張符合條件的.)
(4) 純粹是運氣所致. 雖然要找那麼多張才找到所需, 雖然機率
很小, 但可能性還是存在的.





2012-10-17 10:29:26 補充：
說是 "運氣" 其實也可以說和那 " 鈔票數量是3000萬張" 有關.
因為也許那3000萬張鈔票中符合條件的遠低於理論值 3439*30,
即 10317張. 如果3000萬張中只有3000張是符合條件的, 那麼,
找到100張符合條件鈔票平均需找 100/(3000/30000000)=100萬張.


貼出後再看前面的回答, 發現雖然計算方式不大相同 (我是用減
的, 他是用加的. ^_^) 但結論是一樣的.

瞭解, 這樣我會算了, 很感謝

前面算的是對的，但是後面的明顯低估了OA O(雖然我也不會算XD)
前兩碼是00和03的張數不一樣，但我先假設一樣比較好說明

3000萬張鈔票，100種需要的鈔票各有600張，共60000張是你要的
每500張會有一張需要的鈔票...但是數字不見得是你要的，因為會重複OA O

假設抽了500張，找到一張00，這時候00就變成不是你要的(因為有了)
所以現在只有59400是你需要的，但是樣本數還有29999500張
因此要抽508張，才會抽到你要的號碼OA O
可是抽完505張之後，假設抽到01，01又變成你不要的了

2012-10-16 13:24:00 補充：
*505

雖然現在增長的不快，可是例如當你只剩下99是需求的號碼的時候
樣本數可能根本沒少多少，例如還有2960萬張鈔票之類的(隨便估的)
但是需求張數只有600張，這時候就要抽將近50000張才會抽到你要的數字OA O

實際上，因為每張張數不同，計算會變得很複雜
(即使上面的例子是相同的，我還是不會算XD)
不過以例子應該可以看出來，找超過50萬張才湊齊是合理的OA O

2012-10-16 13:30:56 補充：
以上面的例子，如果做很估計的估算的話
大約是30000000 / 600 * (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/100)
= 50000 * 5.1873 = 259365張 OA O

我們先把後面三碼的情形抓出來探討:

(1)最後三碼是333的組合數(前面都不必管是否有三)
這種組合數為10^3=1000種。

(2)最後三碼不是333的組合數(000~999，扣除333這種)，再分為:
a.第三碼是3的(前兩碼可隨意)-->共9*100=900種(前兩碼00~99)
b.第三碼不是3(前兩碼需至少一個3)-->9*9*19=1539
上面那個19指的是前兩碼為03、13、23、30~39、43、........93(共19種)
而前面的兩個9，分別是000-999扣除333這種9的，以及第三碼不是3的九種。

所以說總共的組合數有1000+900+1539=3439種，
而出現的機率就是3439/(10^6)=0.003439，
由這個機率反過來，也就是每1000000/3439=290.7822張才會出現一張，
因此要找出100張這樣的鈔票，就要有29078.22張，也就是約29078張。

希望這樣有幫上你。