[習題]不盡相異物:排列&組合&二項式定理(急急急!20點

1.不盡相異物排列:(數字問題)
用0，0，1，1，2，2，3，3，3 可組成的九位數，則：
(1) 任意排，排法 有幾種?
Sol
(a) 1________
8!/(2!1!2!3!)=1680
(b) 2________
8!/(2!2!1!3!)=1680
(c) 3________
8!/(2!2!2!2!)=2520
1680+1680+2520=5880
(2) 此九位數為奇數，排法 有幾種?
Sol
(a) 1________
剩下0，0，1，2，2，3，3，3
(a1) 1_______1
7!/(2!2!3!)=210
(a2) 1_______3
7!/(2!1!2!2!)=630
(b) 2________
剩下0，0，1，1，2，3，3，3
(b1) 2_______1
剩下0，0，1，2，3，3，3
7!/(2!1!1!3!)=420
(b2) 2_______3
剩下0，0，1，1，2，3，3
7!/(2!2!1!2!)=630
(c) 3________
剩下0，0，1，1，2，2，3，3
2*7!/(2!1!2!2!)=1260
210+630+420+630+1260=3150
(3) 此九位數為偶數，排法 有幾種?
Sol
5880－3150=2730

2.不盡相異物的組合
papapy字母中選3個，方法有幾種?
Sol
ppp aa y
(1) ppp…………(1)
(2) pp
a，y……………(2)
(3) p
aa，ay………….(2)
(4) aay………….(1)
1+2+3+1=6

3.二項式定理
[1] (2x^3+3x)^5 之展開式中 x^11 的係數為?
Sol
a+b=5
3a+b=11
a=3，b=2
C(5，3)*2^3*3^2=10*8*9=720

[2] (2x^3－3/x )^5 之展開式中 x^3 的係數為?
Sol
a+b=5
3a－b=3
a=2，b=3
C(5，2)*2^2*(－3)^3=10*4*(－27)=－1080

[3] (3x^2－1/x)^6 之展開式中"常數項"的係數為?
Sol
a+b=6
2a－b=0
a=2，b=4
C(6，2)*3^2=135

1.如果沒任何限制,
這9個數字的排列數為 9!/(2!2!2!3!)
但是要排成九位數字,首位數字就不能為0,
(1)要先決定首位數字,
首位為 1: 8! / (2!1!2!3!) = 1680
首位為 2: 同上 1680
首位為 3: 8! / (2!2!2!2!) = 2520
1680X2 + 2520 = 5880

(2)先決定首位數字或先決定個位數字都可以,
首位1,個位1: 7! / (2!2!3!) = 210
首位1,個位3: 7! / (2!1!2!2!) = 630
首位2,個位1: 7! / (2!1!1!3!) = 420
首位2,個位3: 7! / (2!2!1!2!) = 630
首位3,個位1: 同上 630
首位3,個位3: 7! / (2!2!2!1!) = 630
全部加起來 3150

(3)全部扣奇數的情況 (1)-(2) = 2730

2.要先決定有幾個物件(字母)重複,
三同: ppp 1種,
二同一異: C2取1 X C2取1 = 4種
三異: C3取3 = 1種.
總共 6種.

3.三題都是類似的題目,要先知道一般項怎麼表示,
(1)一般項為 C5取r (2x^3)^r (3x)^(5-r)
次方為 3r + 5-r = 11
r = 3 ,代回得係數為 C5取3 (2)^3 (3)^(5-3) = 720

(2)一般項為 C5取r (2x^3)^r (-3/x)^(5-r)
次方為 3r + (r-5) = 3
r = 2 ,代回得係數為 C5取2 (2)^2 (-3)^(5-2) = -1080

(3)一般項為 C6取r (3x^2)^r (-1/x)^(6-r)
次方為 2r + (r-6) = 0
r = 2 ,代回得係數為 C6取2 (3)^2 (-1)^(6-2) = 135