正五邊形面積公式證明

sin 18 = cos 72 = (根號5 - 1)/4
sin 72 = 根號(10 + 2根號5)/4

設正五邊形的中心點距離每個頂的長度為 s，則這正五邊形為五個等腰三角形組成，
這等腰三角形的兩條腰是 s，夾角是72度，底長 a。所以
s^2 + s^2 - 2s^2 cos 72 = a^2
==> 2s^2 (1 - cos 72) = a^2
==> 2s^2 (5 - 根號5)/4 = a^2
==> s^2 = 2a^2 / (5 - 根號5)
==> s^2 = a^2 (5 + 根號5)/10
所以這正五邊形的面積是：
5 * (1/2) s^2 sin 72
= (5/2) a^2 (5 + 根號5)/10 * 根號(10 + 2根號5)/4
= (1/16) a^2 根號[(10 + 2根號5) * (5 + 根號5)^2]
= (1/16) a^2 根號[(10 + 2根號5) * (30 + 10根號5)]
= (1/16) a^2 根號(300 + 100 + 60根號5 + 100根號5)
= (1/16) a^2 根號(400 + 160根號5)
= (1/4) a^2 根號(25 + 10根號5)

001樓上大大誤把腰長(≠a)當成邊長a了

解題想法：將正五邊形分割成5個頂角為72°的等腰三角形
正五邊形面積=5*頂角為72°的等腰三角形(△AOB)

設正五邊形頂點分別為A,B,C,D,E，中心點為O
其中, 邊長=AB=BC=CD=DE=EA=a
連結OA=OB=OC=OD=OE，∠AOB=72°

Sol:從O畫OH垂直AB(點H為AB中點)
AH=1/2*AB=1/2*a , ∠AOH=1/2*∠AOB=36°
∴△AOB 高OH=1/2*a*cot36°=a/2tan36°
正五邊形面積=5*△AOB = 5*(1/2*底*高)=5 *(1/2*AB*OH)
=5*(1/2 * a * a/2tan36°)=5a^2/4tan36° =√(25+10√5)*a^2 /4
答案正確

cos36°= (√5 +1)/4 , sin36°=√(10-2√5) /4, tan36°=√(5-2√5)
cot36°=√(25+10√5) / 5

2012-10-11 17:54:33 補充：
"這等腰三角形的兩條腰是 s，夾角是72度，底長 a"
s= (a/2)/ si36° 代入面積公式就OK了
=>
正五邊形面積=5a^2/4tan36° =√(25+10√5)*a^2 /4

正五邊形面積公式證明各位前輩....我爬很多文了
就是沒有證明過程...
可否提供小弟證明過程
正五邊形面積=根號(25+10根號5)*a^2/4
Sol
Sin18度=(√5-1)/4
Cos^2 18度=1-(6-2√5)/16=(10+2√5)/16
Cos18度=√(10+2√5)/4
Sin72度=Cos18度=√(10+2√5)/4
邊長a正五邊形面積
=5*(1/2)*a^2Sin72度
=5*(1/2)*a^2*√(10+2√5)/4
=5*a^2*√(10+2√5)/8
解答錯誤

http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d361/36103.pdf


參考41至44頁