✔ 最佳答案
要完成證明, 最好是有微分的連鎖律.
(1) 首先證明 (d/dx)x^{1/n} = (1/n)x^{(1/n)-1}
有連鎖律時, 由 (x^{1/n})^n = x 得
n(x^{1/n})^{n-1} (d/dx)x^{1/n} = 1.
沒有連鎖律時, 直接由微分(導數)的定義著手.
(2) x^{n/m} = (x^{1/m})^n 用連鎖律.
(3) (x^{-p})x^p = 1, 用微分的乘法律.
2012-10-12 01:15:12 補充：
題目是要證明一般的乘冪微分 (d/dx) x^r = rx^{r-1}
要完成這個證明, 需要分好幾個步驟, 在微積分課程是
經過數個章節才完成的:
(1) r=正整數(不含0)時或非負整數(含0)時. 這是最簡單的.
(2) r=1/n, n 為正整數. 這有兩法, 一是有了連鎖律再證,
比較簡單; 二是直接證, 方法是透過 "有理化" 來完成.
(3) r=p/q, p, q 是正整數. 這需要 (1), (2) 及連鎖律.
(4) r=-p/q, p, q 為正整數. 這由 (3) 及微分的乘法律可證.
2012-10-12 01:16:10 補充：
(5) r 是任意實數: 這需要有了指數函數/對數函數之定義及
微分公式後, x^r 才有適當定義, 也才可證得微分公式.
2012-10-12 01:21:25 補充：
n 為正整數時,
((x+h)^{1/n}-x^{1/n}
= [(x+h)-x]/[(x+h)^{(n-1}/n}+(x+h)^{(n-2)/n}x^{1/n}+...+x^{(n-1)/n}]
利用上式可證得
lim [(x+h)^{1/n}-x^{1/n}]/h im
h→0
= lim_{h→0} 1/[(x+h)^{(n-1}/n}+(x+h)^{(n-2)/n}x^{1/n}+...+x^{(n-1)/n}]
= 1/(nx^{(n-1)/n} = (1/n) x^{(1-n)/n} = (1/n)x^{1/n-1}
2012-10-14 11:49:33 補充：
令 r = p/q, 其中 p 為整數, q 為正整數.
要證 (d/dx)x^r = rx^{r-1}.
假設已知 (d/dx)x^n = nx^{n-1} 當 n 為整數時成立.
[Proof]
(d/dx)x^r = lim_{h→0} {(x+h)^r - x^r}/h.
(x+h)^r - x^r = [(x+h)^p]^{1/q} - (x^p)^{1/q}
[(x+h)^p - x^p]
= ------------------------------------------------------------------------------------------------
{[(x+h)^p]^{(q-1)/q}+[(x+h)^p]^{(q-2)/q} (x^p)^{1/q}+...+(x^p)^{(q-1)/q}}
因此,
{(x+h)^r - x^r}/h
[(x+h)^p - x^p]/h
= ------------------------------------------------------------------------------------------------
{[(x+h)^p]^{(q-1)/q}+[(x+h)^p]^{(q-2)/q} (x^p)^{1/q}+...+(x^p)^{(q-1)/q}}
令 h→0, 則分母 [(x+h)^p-x^p]/h→(d/dx)x^p = px^{p-1}; 而分子各項
[(x+h)^p]^{(q-k)/q} (x^p)^{(k-1)/q} → (x^p)^{(q-k)/q}(x^p)^{(k-1)/q} 即
x^{p(q-1)/q}, k=1,...,q. 因子, 分子整個趨近於 qx^{p(q-1)/q}.
所以,
(d/dx) x^r = lim_{h→0}{(x+h)^r-x^r}/h
= (px^{p-1})/{qx^{p(q-1)/q}
= (p/q) x^{p-1-p(q-1)/q} = (p/q)x^{p/q-1} = rx^{r-1}
Q.E.D.
2012-10-14 11:51:56 補充：
打錯字..."因此, 分子整個趨近於 qx^{p(q-1)/q}."
2012-10-14 12:02:19 補充：
若應用連鎖律:
假設 (d/dx)x^{1/q} 存在, 當 q 是正整數.
則因 x = (x^{1/q})^q, 兩邊微分, 得
1 = q(x^{1/q})^{q-1}(d/dx)x^{1/q}
故 (d/dx)x^{1/q} = 1/[q(x^{1/q})^{q-1}] = (1/q)x^{1/q-1}.
2012-10-14 12:02:31 補充：
因 f(x)=x^{1/q} 與 g(x)=x^q 互為反函數, 所以也可由 "反函數微分定理"
得 (d/dx)x^{1/q} = (d/dx)f(x) = (d/dx)g^{-1}(x) = 1/g'(g^{-1}(x)) = 1/g'(f(x))
故
(d/dx)x^{1/q} = 1/{q(f(x))^{q-1}} = 1/{q (x^{1/q})^{q-1}} = (1/q)x^{1/q-1}.
用反函數微分定理不需先假設 x^{1/q} 可微分, 也就是說不需另外證明
x^{1/q} 可微分, 因為它已包含在定理的結論之中.
2012-10-14 12:05:11 補充：
應用連鎖律及上述結果, 則
(d/dx}x^{p/q} = (d/dx)(x^{1/q})^p = p(x^{1/q})^{p-1} (d/dx)x^{1/q}
= px^{(p-1)/q} (1/q)x^{1/q-1} = (p/q)x^{(p-1)/q+(1/q)-1} = (p/q)x^{(p/q)-1}.
2012-10-14 12:13:36 補充：
假設已有 (d/dx)x^n = nx^{n-1}, n 即正整數, 要證明同一公式在 n 是任意
整數時也成立; 或已有 (d/dx)x^r = rx^{r-1} 對 r 是正有理數成立, 要證它
在所有有理數的 r 都成立, 則應用 (x^r)(x^{-r}) = 1, 兩邊微分,
[(d/dx)x^r](x^{-r} + x^r[(d/dx}x^{-r}] = 0
若 r<0, 則 -r>0, 故 (d/dx)x^{-r} = (-r}x^{-r-1}. 代入上式, 整理得
(d/dx)x^r = -x^r[(-r)x^{-r-1}]/x^r = rx^{r-1}.
2012-10-18 11:33:40 補充：
利用公式 a^q-b^q = (a-b)(a^{q-1}+a^{q-2}b+...+b^{q-1})
將 a-b 寫成
a-b = (a^q-b^q)/(a^{q-1}+a^{q-2}b+...+b^{q-1})
此處 a = (x+h)^{p/q} = [(x+h)^p]^{1/q}, b = x^{p/q} = (x^p)^{1/q}.
